Operatoren en ineenstorten van de golffunctie

[Box]

Geachten,

Enerzijds lees ik dat het effect van een meting van een eigenschap corresponderend met een operator Ô is, dat de golffunctie psi veranderd wordt in de golffunctie Ô psi.

Anderzijds lees ik dat het meten van een eigenschap corresponderend met een operator, het ineenstorten van de golffunctie tot de eigentoestand corresponderend met de waargenomen eigenwaarde van die operator tot gevolg heeft.

Hoe kan ik beide in overeenstemming brengen?

mvg, Box

[eendavid]

Waar heb je de eerste bewering juist gelezen?

[Box]

"Fundamentals of Quantum Mechanics for solid state electronics and optics" van C.L. Tang, pagina 13. Het wordt gepresenteerd als een gevolg van postulaat 2 (die over operatoren).

Ik citeer:

"[...] For the operator Ô is also to be interpreted physically as the process of measuring the property O. Thus, the physical interpretation of the operator equation is that, in the atomic and subatomic world the process of measuring the property O when the system is in the state psi generally changes it into another state phi. Furthermore, once the Schrödinger representation of any operator is specified, Ô Psi = Phi gives, mathematically, the exact effect the corresponding measurement process will have on the system in any particular state. [...]"

Met vriendelijke groet,

Box

[eendavid]

In alle eerlijkheid, het is volgens mij niet correct. Ik heb het boek hier niet bij mij, maar bedoelen ze met Ô wel degelijk de operator geassocieerd aan de observabele O?

Het uitvoeren van een meting is een intrinsiek probabilistisch proces, en het is dus onmogelijk om te weten in welke toestand het systeem zich zal bevinden na de meting. Dit is enkel mogelijk wanneer je weet wat het resultaat van de meting was. Dan vind je de nieuwe toestand door te projecteren op deze eigenruimte en daarna te normaliseren. Als ze dat bedoelen met Ô, wat wel een nogal rare notatie zou zijn, dan is de uitspraak uiteraard wel correct.

[Box]

Ik heb hier nu wel Ô gezet (O circonflexe), maar in 't boek staat eigenlijk Q circonflexe, maar Ô toont mooier dan ^Q

Maar de operator ^Q is wel degelijk geassocieerd met de observable Q, en tot zover in het boek (blz 13) werd er nog niets gezegd over eigenwaarden. Ook werd er nog niets gezegd over de "collapse" van de wave function.

mvg, Box

[Typhoner]

Een operator transformeert uiteraard wel de functie, maar er is nog steeds niet onmiddellijk een verband met wat je wil meten (tenzij bijv. de Hamiltoniaan, die de golffunctie maal energie teruggeeft).

Wel is de verwachtingswaarde van die operator gelijk aan de verwachtingswaarde van de waarneembare.

[Box]

Een operator transformeert uiteraard wel de functie, maar er is nog steeds niet onmiddellijk een verband met wat je wil meten (tenzij bijv. de Hamiltoniaan, die de golffunctie maal energie teruggeeft).

Wel is de verwachtingswaarde van die operator gelijk aan de verwachtingswaarde van de waarneembare.

Dat botst toch wel een beetje met wat er in het boek wordt verteld. Behalve de hamiltoniaan, die de operator is die geassocieerd is met de totale energie van het systeem, is er ook de operator ^p voor de impuls, de operator ^r voor de plaats, etc.

Als we de operator van de impuls toepassen op de golffunctie, doen we dit toch om statistische/probabilistische informatie (verwachtingswaarde, onzekerheid, ...) te krijgen over de impuls van het systeem? In het boek wordt er ook gehamerd op het verband tussen die operatoren en het eigenlijke meten van de ermee geassocieerde observable.

Eigenlijk wat belangrijk is voor mij om te weten is het volgende: heeft de operator van een observable iets te maken met het "ineenstorten" van de golffunctie? Op welke manier volgt dit ineenstorten uit de postulaten?

[Typhoner]

Je kan voor eender welke operator inderdaad de verwachtingswaarde vinden als:

\(\langle Q \rangle = \int \psi^* \hat{Q} \psi \)

En gesteld dat geldt:

\( \hat{Q} \psi = q \psi\)

dan is q gewoon de waarde die we willen weten.

[eendavid]

Eigenlijk wat belangrijk is voor mij om te weten is het volgende: heeft de operator van een observable iets te maken met het "ineenstorten" van de golffunctie? Op welke manier volgt dit ineenstorten uit de postulaten?

De operator heeft alles te maken met het instorten van de golffunctie. Deze operator bepaalt wat de eigenruimten zijn horend bij een eigenwaarde, en dus ook naar welke toestand de golffunctie kan instorten. De originele golffunctie bepaalt met welke kans een specifieke eigenwaarde gemeten wordt (en dus ook met welke kans de instorting naar de bijhorende eigenruimte optreedt). Zie deze beschrijving van de postulaten. Het instorten van de golffunctie is een postulaat (zie puntje 3).

Voel ik het juist aan dat je niet vertrouwd bent met het begrip eigenwaarde/eigenruimte?

[Box]

Toch wel hoor, ik weet hoe het werkt 'k heb alleen mijn vorige post niet zo goed geformuleerd.

Een quote van mij:

Eigenlijk wat belangrijk is voor mij om te weten is het volgende: heeft de operator van een observable iets te maken met het "ineenstorten" van de golffunctie? Op welke manier volgt dit ineenstorten uit de postulaten?

Wat ik daarmee bedoelde is: het toepassen van een operator op een golffunctie doet die golffunctie niet ineenklappen. Integendeel, de golffunctie (op ieder moment) is altijd een lineaire combinatie van eigenfuncties van de operator, en het toepassen van de operator zal alleen maar de coefficienten van de eigenfuncties veranderen. De operator doet de golffunctie dus NIET ineenklappen (ineenklappen is: er blijft maar 1 eigenfunctie over na observeren). Bijgevolg is het absurd te beweren dat de fysische interpretatie van het toepassen van een operator het daadwerkelijke meten van de eigenschap corresponderend met die operator is. Ben je daarmee eens?

In de formulering van de postulaten van jouw link staat die ineenstorting inderdaad bij de postulaten. Dat maakt de zaak anders Het boek ("Fundamentals of Quantum Mechanics for solid state electronics and optics" van C.L. Tang) hanteert een sterk andere andere strucuur op dat vlak. Er zijn bvb maar 3 postulaten, maar wel met een aantal "corollaries". Het is bijgevolg soms erg onduidelijk in het boek of je iets kan deduceren uit vorige stellingen, of dat het gewoon gepostuleerd wordt.

mvg, Box

[eendavid]

Ben je daarmee eens?

Ja. Ik heb mijn handen dan toch op het boek gekregen. De discussie van de postulaten had beter gemoeten, en dit specifieke punt is simpelweg fout. De focus van dit boek ligt zeer sterk op de voorbeelden (dwz de oplossingen van de Schrödingervergelijkingen in enkele belangrijke/eenvoudige potentialen) en toepassingen (dwz de solid state component). Indien je toch nog een beter begrip van de postulaten en de daaruitvolgende analyses zoekt, kan ik je Griffiths aanraden. Of als je het heel goed wil begrijpen, Sakurai.