Wat gebeurt er?

[Dominus Temporis]

Ok...Ik heb mezelf net iets zitten inbeelden en vraag het gewoon.

Stel dit voor:

Men zet op de evenaar (dus helemaal rond de aarde) inklapbare/verkortende palen met een opp. van laat ons zeggen 75 km^2, waartussen telkens een redelijke afstand zit.

KOSTEN ZIJN TE VERWAARLOZEN!

Op die palen, dus ook helemaal rond de aarde, plaatst men een band van diamant met een dikte van 500 m.

Als je de aarde zou bekijken vanuit de ruimte, gecentreerd op de noordpool, zou je nu een cirkel (aarde) zien waar palen uitkomen, waarop een diamanten band rust.

(Ga ervan uit dat de band 'perfect' rond is, en dat de palen 15 km hoog zijn; het centrum vd band is dus ook die vd aarde.)

Op een gegeven moment worden alle palen GELIJKTIJDIG weggehaald.

Wat met de diamanten band?

'Zweeft die 'boven' de aarde? Stort ze in door een gelijke 'trekkracht' naar binnen? Begint ze als een gek rond te tollen?

M.

[fransamsterdam]

-Begint ze als een gek rond te tollen? Nee. De band draaide met dezelfde omtreksnelheid als ieder punt op de evenaar rond het middelpunt van de aarde en zal dat blijven doen zolang er geen energie aan toegevoegd wordt.

-Zweeft de band boven de aarde? Nee, althans niet in die zin dat hij gewichtloos is, want de band ondervindt overal dezelfde zwaartekracht als een ander voorwerp op 15 km hoog.

-Stort de band in? Dat hangt er van af hoe sterk de diamanten band is, in verhouding tot het eigen gewicht. Ik weet niet hoe je dat uit moet rekenen, daar hebben we waarschijnlijk een bouwkundige voor nodig. In principe kun je het vergelijken met het bouwen van een (deel van een) iglo met een straal gelijk aan die van de aarde + 15 km. Mijn gevoel zegt dat je meer kans maakt met een véél dunnere band (om de band niet te laten instorten dan).

Overigens baren de kosten van die diamanten band mij meer zorgen dan die van de palen.

[Dominus Temporis]

-Begint ze als een gek rond te tollen? Nee. De band draaide met dezelfde omtreksnelheid als ieder punt op de evenaar rond het middelpunt van de aarde en zal dat blijven doen zolang er geen energie aan toegevoegd wordt.

-Zweeft de band boven de aarde? Nee, althans niet in die zin dat hij gewichtloos is, want de band ondervindt overal dezelfde zwaartekracht als een ander voorwerp op 15 km hoog.

-Stort de band in? Dat hangt er van af hoe sterk de diamanten band is, in verhouding tot het eigen gewicht. Ik weet niet hoe je dat uit moet rekenen, daar hebben we waarschijnlijk een bouwkundige voor nodig. In principe kun je het vergelijken met het bouwen van een (deel van een) iglo met een straal gelijk aan die van de aarde + 15 km. Mijn gevoel zegt dat je meer kans maakt met een véél dunnere band (om de band niet te laten instorten dan).

Overigens baren de kosten van die diamanten band mij meer zorgen dan die van de palen.

Wat ik bedoel met 'zweven boven de aarde' kun je als volgt voorstellen:

ik weet natuurlijk dat die nog steeds aangetrokken wordt door de zwaartekracht, maar ik stel me voor dat ze 'zweeft' omdat ze overal even hoog rond de aarde staat;

zie het zo:

2 concentrische cirkels, een grote en een kleine, die respectievelijk de diamanten band en de aarde voorstellen.

Dus nogmaals: wat zou er theoretisch gezien in eerste instantie gebeuren met de band?

-Michaël Henrotte

P.S. Ik zei al dat kosten te verwaarlozen zijn.

[eendavid]

Fransamsterdam heeft een goed antwoord gegeven. Ik zal hem in jouw plaats bedanken.

In eerste instantie zijn er 2 mogelijkheden: (1) het blijft zweven, (2) het stort in. Welke van de twee opties verkozen wordt hangt af van de dikte van de diamantband. Als je absoluut zeker wil zijn dat hij blijft zweven moet je hem op 35 786 km hoogte maken, of je moet hem via één of ander systeem zeer snel laten ronddraaien (aan hoeksnelheid

\(\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}\)

, met M de massa van de aarde en r de afstand tot het centrum van de aarde). In dat geval heffen zwaartekracht en middelpuntvliedende kracht elkaar op. Maar op een lagere hoogte kan het ook, en je moet de spanning in het materiaal vergelijken met de sterkte van de diamant om vast te stellen welke dikte op welke hoogte stabiel blijft.

Op langere termijn zijn er waarschijnlijk stabiliteitsproblemen, zoals er door satellieten ook correcties gemaakt moeten worden om in de juiste baan te blijven. Dat betekent dat (1) de band een precessie zal beginnen uitvoeren en (2) zonnewind de band uiteindelijk uit zijn positie zal blazen.

[sirius]

Er is denk ik nog een instabiliteit die voor problemen zorgt. Stel de band blijft perfect rigide. Stel nu de band verschuift een klein beetje zodat hij net niet meer concentrisch is. Als de potentiele energie lineair zou toe nemen met de afstand tot de aarde zou de energie van het totale systeem niet veranderen. Maar aangezien de potentiele energie harder dan lineair afneemt naarmate de afstand tot het aardoppervlak afneemt, zal de totale energie gestegen zijn.

Kortom een kleine verstoring van de positie van de band leid ertoe dat de band op een punt naar het oppervlak toe beweegt.

[Dominus Temporis]

bedankt voor de antwoorden!

[eendavid]

Sirius, het lijkt me iets ingewikkelder te zitten dan dat. Er zijn immers weinig punten die dichter bij de aarde komen, en meer punten die verderweg gaan. Wanneer ik de integralen bekijk, bekom ik elliptische integralen en heb je blijkbaar gelijk dat de -1/r potentiaal een maximum in energie oplevert wanneer de band concentrisch is met de aarde. Maar hoe moeten we dit vergelijken met de stabiliteit van de ringen van saturnus?

[tempelier]

Fransamsterdam heeft een goed antwoord gegeven. Ik zal hem in jouw plaats bedanken.

In eerste instantie zijn er 2 mogelijkheden: (1) het blijft zweven, (2) het stort in. Welke van de twee opties verkozen wordt hangt af van de dikte van de diamantband. Als je absoluut zeker wil zijn dat hij blijft zweven moet je hem op 35 786 km hoogte maken, of je moet hem via één of ander systeem zeer snel laten ronddraaien (aan hoeksnelheid

\(\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}\)

, met M de massa van de aarde en r de afstand tot het centrum van de aarde). In dat geval heffen zwaartekracht en middelpuntvliedende kracht elkaar op. Maar op een lagere hoogte kan het ook, en je moet de spanning in het materiaal vergelijken met de sterkte van de diamant om vast te stellen welke dikte op welke hoogte stabiel blijft.

Op langere termijn zijn er waarschijnlijk stabiliteitsproblemen, zoals er door satellieten ook correcties gemaakt moeten worden om in de juiste baan te blijven. Dat betekent dat (1) de band een precessie zal beginnen uitvoeren en (2) zonnewind de band uiteindelijk uit zijn positie zal blazen.

Ik denk dat het zal lijken dat die diamanten ring achteruit zal gaan draaien, doordat de aarde in werkelijkheid een iets hogere rotatie snelheid krijgt.

[eendavid]

De grootte van dat effect zal afhangen van de massa van de palen. Maar los van de precieze cijfers is dat zeker niet het dominante effect dat zal spelen.

De wiskunde liegt niet, de instabiliteit van een solide ring werd blijkbaar al door Laplace beschreven, en uiteindelijk onomstotelijk bevestigd door Maxwell. Zie ook deze applet. De ringen van Saturnus zijn blijkbaar ook instabiel, maar de levensduur is veel groter omdat hij is opgebouwd uit individuele deeltjes met grotere rotatiesnelheid.

[tempelier]

Ik denk dat in dit Gedachte Spelletje de ring wel als (tijdelijk) labiel genomen mag worden.

Immers als hij instabiel is, dan is hij dat ook op die palen enz.

PS. Er is wel eens beweerd dat ook onze aarde eens een schamele ring bezeten zou hebben.

[eendavid]

De palen houden hem in zijn positie, daardoor speelt de stabiliteit geen rol. Eens de palen weg zijn speelt dat wel een rol. Het correcte antwoord op de vraag is:

1. Hij breekt in stukken.

2. Als hij niet in stukken breekt, valt hij op de aarde omwille van de Laplace instabiliteit.

Je kan beginnen discussiëren hoe je een vraag moet interpreteren. Daar heb ik weinig zin in, maar we kunnen rustig vaststellen dat de ring al lang weg is tegen dat het effect dat je vermeldt (en ook de effecten die ik vermeldde) opgemerkt zou worden.

[sirius]

@eendavid

Ik zie inderdaad hoe die elliptische integraal eruit komt. Waarschijnlijk is het probleem eenvoudiger op te lossen middels tweede orde perturbatie theorie, maar aangezien die Laplace-kerel het al zonodig moest hebben opgelost in de 17e eeuw is daar de lol ook al weer van af...

[Dominus Temporis]

dus eigenlijk heb ik een vrijwel interessante vraag gesteld?