luchtweerstand

[ikku]

ik had laatst een probleem met de "normale" "val"versnelling waarbij ik luchtweerstand toe wilde voegen.

na wat gegoogle kreeg k de volgende formules:

F=m*a

Fw=ρV^2C

en V=at

na wat substitueren kreeg ik:

V=(ρV^2Ct)/m(+at)

nu is de V na de = dezelfde als die ervoor, wat voor enige problemen zorgt.

ik dacht om de V's gewoon dezelfde te maken wat dxe volgende formule leverde:

V^2Cρt-Vm+amt=0

met de abc-formule was dit:

V=(m±√(m²-4Cρamt²))/(2Cρt)

en als ik wat getallen nam (ρ=1,293;C=2;a=-9,81;m=300)

kreeg ik voor t=10

V=40,03

en voor t=100

V=34,32

t=200

V=34,02

dit lijkt aardig te kloppen ik vraag me alleen af of alles wat ik gedaan heb wel helemaal mag, de grafiek blijft ook (heel langzaam) naar beneden gaan, wat niet hoort (je hoort een constante snelheid te bereiken)

ook heb ik geen idee hoe ik aan de hand van deze formule positie moet bepalen.

(ik heb gehoord dat dit de integraal is, maar ik weet niet hoe ik die moet berekenen in het wortel-gedeelte)

ik kwam tot:

V=m/(2Cρt)±(√(m²-4Cρamt²))/(2Cρt)

V=mt^-1/2Cρ±(t^-1√m²-4Cρamt²))/(2Cρ)

en de primitieve is dan(gedeeltelijk):

V=m/(2Cρ)*ln|t|±(primietieve(t^-1√m²-4Cρamt²))/(2Cρ))

ik moet op een of andere manier de substitutieregel toepassen, maar ik heb geen idee hoe dat moet in dit geval.

alvast bedankt! (dit is geen huiswerk maar excuses als het zo overkomt)

de vragen zijn kort:

is het correct om V voor de = hetzelfde te maken als die erna?

waardoor wordt de snelheid niet constant?

hoe moet ik √(m²-4Cρamt²)/(2Cρt) primitiveren?

[physicalattraction]

Het probleem is dat je een paar dingen door elkaar gooit. Ten eerste wil ik je adviseren om voor je formules op Wetenschapsforum LaTeX te gebruiken, dan wordt het een stuk duidelijker. Zie hier voor meer informatie.

1)

\(F = m a\)

is altijd geldig, maar je moet wel oppassen wat in deze formule

\(F\)

en

\(a\)

inhouden.

\(F\)

is de som van alle krachten, en

\(a\)

is dan de resulterende versnelling door deze krachten. Dit zorgt dan voor een snelheidsverandering:

\(a = \frac{dv}{dt}\)

. Let op dat de formule

\(v = a t\)

alleen geldig is wanneer

\(a\)

constant is, maar dat is die hier niet, want hij hangt van de snelheid

\(v\)

af.

2) Je hebt twee krachten: de zwaartekracht en de wrijvingskracht. De formule voor de wrijvingskracht klopt, de formule voor de zwaartekracht kun je beter opschrijven zonder het symbool

\(a\)

, want die hadden we hierboven al gedefinieerd als de totale versnelling. De valversnelling geven we weer met het symbool

\(g\)

.

3) Om dit probleem aan te pakken, zet je de volgende stappen. Ik ga ze hier niet voor je voordoen, probeer ze zelf eens uit te voeren en kijk hoe ver je komt.

• Schrijf de uitdrukkingen voor beide krachten (
  \(F_{z}\)
  en
  \(F_{w}\)
  ) op.
• Schrijf een uitdrukking voor de totale kracht (
  \(F_{tot}\)
  ) op.
• Schrijf een uitdrukking voor de totale versnelling op.
• Indien je al differentiaalvergelijkingen gehad hebt: schrijf een differentiaalvergelijking op voor de snelheid als functie van de tijd en los deze op.
• Indien je nog geen differentiaalvergelijkingen gehad hebt: onderzoek hoe groot de snelheid moet zijn dusdanig dat de versnelling 0 is. Wat moet dan gelden?

[ikku]

bedankt voor uw reactie, ik heb er een tijd over nagedacht, en ben nu op een groot probleem gestuit. en dat is een "kwadratische differentiaalvergelijking"????

ik begon met het schrijven van de krachten:

\(F_w=-\rho CAV^2\)

en

\(F_z=gm\)

dus

\(F_{tot}=gm-\rho CAV^2\)

en dus is a (of v'(t))

\(V'(t)=g-\frac{\rho CA}{m}(V(t))^2\)

en ik wil

\(V(t)=.........\)

nu kan ik op internet weinig vinden over de oplossing van dit probleem en ik hoop dat u me wat verder kunt helpen

[physicalattraction]

Je bent op de goede weg. Kleine opmerking: gebruik een kleine letter v, geen hoofdletter, voor snelheid. Goed, je hebt nu dus:

\(\frac{dv(t)}{dt} = g - c v(t)^2\)

waarbij

\(c\)

aan combinatie van je constantes is. Ik ben helaas geen expert in differentiaalvergelijkingen. Misschien kan Wikipedia je verder helpen (Riccativergelijking), of misschien kun je hiervoor een topic in het wiskunde-forum openen. Je kunt nu in ieder geval wel al bepalen wat de eindsnelheid kan zijn door

\(v' = 0\)

te bepalen. Lukt dit?

[pgbakker]

Sommige differentiaalvergelijkingen zijn te reduceren tot integralen, zo ook hier.

Ga variabelen scheiden, alles met v naar links en alles met t naar rechts van het = teken. Dwz. deel door de term

\(g - c v^2\)

en vermenigvuldig met dt

Nu staat links van het = teken alleen iets dat expliciet van v afhangt en rechts van het = teken staat alleen iets dat alleen van t afhangt.

Nu van de uitdrukkingen links en rechts de integraal nemen , nog een integratieconstante c1 toevoegen en je hebt het gezochte verband tussen v en t

De integraal voor v is een standaard integraal die voor t is triviaal.

Houdt ons op de hoogte.

Gr. pgb