[wiskunde] 3 rijtjes insluiting

[lucca]

Formulering :

Veronderstel drie rijen

\( \{ x_n \} , \{ y_n \} , \{ z_n \} \)

, met

\( x_n \leq z_n \leq y_n \)

.

Verder is gegeven dat:

\( x_n \to x \)

\( z_n \to x \)

Te bewijzen :

\( z_n \to x \)

bewijs :

Laat alle rijen op

\( R^{+} \)

gedefinieerd :

\( x_n \leq z_n \leq y_n = \)

\( x_n - x \leq z_n - x \leq y_n - x = \)

\( d(x_n - x) \leq d(z_n - x) \leq d(y_n - x) \)

\( d(y_n - x) \)

en

\( d(x_n - x) \)

gaan beide naar 0, dus ook

\( d(z_n - x) \)

en dus

\( z_n \to x \)

.

Dit kan ook gedaan worden voor negatieve rijtjes. Toch heb ik het idee dat het beetje 'mis' gaat. Kan iemand aangeven of het klopt? En zo niet, kan het misschien eenvoudiger? (duidelijker)

[Siron]

De bedoeling die je hebt is goed, maar je manier van noteren vind ik vreemd. Ik ben niet bekend met de notatie

\(d(x_n-x)\)

, maar wel met

\(d(x_n,x)\)

.

Er gaat ook nog iets mis i.v.m de ongelijkheidstekens wanneer je de afstand beschouwd.

[eezacque]

Het probleem is dat je probeert de bewering voor een willekeurige limiet te bewijzen door gebruik te maken van de bewering voor limiet gelijk 0. Wat je feitelijk moet bewijzen is dat de elementen van zn uiteindelijk willekeurig dicht tot x naderen, cf. de definitie van het begrip limiet. In plaats van je bewijs te vereenvoudigen, moet je het juist uitwerken, gebruikmakend van de gangbare definities...

[lucca]

maar zou je dan iets kunnen krijgen als:

rij xn : je weet dat er voor elke epsilon een N is, zodanig dat voor elke x groter dan deze N geldt dat |xn - x| < epsilon.

Dit kun je ook doen voor je rij y_n. (en dan met een N2)

en kun je dan eenvoudig weg zeggen, omdat zn altijd tussen deze twee zit moet |zn - x| ook wel kleiner zijn dan epsilon voor (sowieso) de max(N,N2). maar dan heb je de stelling van de limiet al en moet zn -> x gaan.

Is zoiets afdoende?

[Drieske]

Een verhaal in woorden, gebaseerd op intuïtie, is geen bewijs . Probeer het dus eens mooi uit te schrijven met een epsilon, n0, etcetera en kijk of dat lukt. Rekening houdend met bovenstaande tips.

[lucca]

\( \forall \epsilon >0, \exists N_1 >0 : |x_n - x | < \epsilon \)

\( \forall \epsilon >0, \exists N_2 >0 : |y_n - x | < \epsilon \)

Pak M = max(N1,N2)

\( \forall \epsilon >0, \exists M >0 : |x_n - x | < \epsilon, en, |y_n - x | < \epsilon \)

Maar omdat

\( x_n \leq z_n \leq y_n \)

volgt dan ook dat:

\( \forall \epsilon >0, \exists M >0 : |z_n - x | < \epsilon \)

Maar dat is een limiet. (en rest is gevolg), maar klopt het zo een beetje?

[Drieske]

Je gaat er echt wel te rap over. Die "maar dan volgt" is echt wel te rap. Je werkt met absolute waardes en dan moet je wat voorzichtiger zijn.

Ik ga voor het gemak epsilon met e aanduiden. Dan weet je dat: |x_n - x| < e is equivalent met x-e < x_n < x+e. Doe dat nu ook met y_n en dàn pas ga je wat kunnen zeggen over z_n. Je idee van max{...} is wel goed en heb je ook nodig.

[lucca]

Ok got it :

(gebruik weer notatie N1 en N2)

voor alle waardes x groter dan N1, weten we dat : x - e < x_n< x + e

omdat x_n<= z_n volgt dat:

voor alle x groter dan die N1 volgt dat z_n> x - e

voor alle waardes x groter dan N2, weten we dat : x - e < y_n< x + e

omdat y_n>= z_n volgt dat:

voor alle x groter dan die N2 volgt dat z_{n <} x + e

Nu pak max(N1,N2) = M

Dan voor alle x groter dan deze M volgt dat x - e < z_n < x + e.

en dan zijn we ''er wel''

[Drieske]

Dan ben je er inderdaad . Snap je ook waarom dit wel werkt en je vorige niet?

[lucca]

heeft dat iets te doen met dat de rijtjes ook negatief kunnen zijn? en als we absoluut nemen moeten we dus even oppassen?

[Drieske]

Ja, uiteindelijk blijkt dat wat je zegt, wel klopt, maar a priori is dat gewoon niet duidelijk en moet je dat dus via deze omweg nagaan. In die omweg zie je ook mooi dat je niet alles gebruikt van de absolute waarden, maar dat je beiden echt combineert om het te kunnen besluiten over z_n.

[eezacque]

Zomaar nieuwsgierig: voor welke opleiding krijg je dit als huiswerk?