Vraag m.b.t. cosinus

[Dominus Temporis]

Klein vraagje:

waarom moet x een geheel getal zijn opdat x*cos(180/x) = x?

Bedankt

-S

[Drieske]

Wanneer is cos(a) = 1?

[Dominus Temporis]

ahja..als a k*pi is..

dus

cos(2pi/x) = 1

2pi/x = k*pi

x = 2pi/kpi = 2/k??

ahja..als a k*pi is..

dus

cos(2pi/x) = 1

2pi/x = k*pi

x = 2pi/kpi = 2/k??

is k dan eigenlijk 2/x ?

[Drieske]

Je hebt niet cos(2 pi/x), maar cos(pi/x)... Nu is dat niet essentieel, maar geeft je gewoon een factor 2 verschil . Het stelt je sowieso in staat om de vraag van je openingspost te beantwoorden, niet?

[Dominus Temporis]

ach ja..k = 1/x? maar daarmee weet ik nog steeds niet waarom x geheel moet zijn..

cos = 1 voor een hoek met grootte (veelvoud van) pi...

is het dan omdat veelvouden enkel geheel zijn?

[Drieske]

Het betekent dus simpelweg dat je stelling uit je openingspost niet klopt, lijkt me... Je hebt immers net zelf beargumenteerd dat k = 1/x, of dus x = 1/k, met k geheel.

[Dominus Temporis]

hmm..het heeft toch wel een verband, lijkt me...

ik dacht dat m'n rekentoestel een afrondingsfout had (dan wel naar beneden)..blijkbaar dus niet..

maar hoe groter x wordt, hoe dichter je dus bij de waarde van x komt..?!

zo is de uitkomst voor x = 5: 4,04...

en voor x = 100: 99,95...

1000: 999,99...

is hier een verklaring voor? of is dit slechts toeval?

(heeft dit trouwens met limieten te maken? --> lim (x*cos(180/x)) = x?

(als je werkt in de DEGREE-modus weliswaar)

[Drieske]

Het heeft met limieten te maken zo je wilt. Maar Wat je schrijft

lim (x*cos(180/x)) = x

is niet volledig correct zo. Links staat een limiet van x. Rechts moet dat dan ook, of er moet een "getal" (mag ook oneindig zijn) staan. Je kunt bewijzen dat

\(\lim_{a \to 0} \frac{\cos(a)}{a} = +\infty\)

. Als je dus de keuze van a=1/x neemt, volgt er dat

\(\lim_{x \to +\infty} x \cos(\frac{1}{x}) = \infty\)

.

[Dominus Temporis]

ah, ok, bedankt duidt dat dan aan dat xcos(1/x) bijna x is?

[JorisL]

Voor grote x wel. Intuitief kan je dat inzien doordat als volgt.

\(\frac{1}{x}\)

zal naar ... gaan als x groot wordt.

Wat weet je dan over de cosinus van dit getal?

Zie je dan in waarom het op deze manier werkt?

[Dominus Temporis]

0; cos(0) = 1

[JorisL]

Daaraan kan je zien dat naarmate x groter wordt, je uitdrukking korter bij x zal liggen.

[Dominus Temporis]

ohja, inderdaad ik snap em

dus je zou wel kunnen zeggen: x*lim(cos(1/x)) = x?

[JorisL]

Nee, je moet het als volgt schrijven

\(\lim_{x\to\infty}x\cos (1/x) = \lim_{x\to\infty}x\)

.

Want jouw uitdrukking geeft x=x als je de limiet uitrekend.

Maar dat is niet hetzelfde als bij je oorspronkelijke uitdrukking. Die enkel waar is als je oneindig als een echt getal gaat beschouwen en dan nog enkel als x oneindig is.