Quantum Coherence by Glauber

[Scipio]

Hallo mensen,

Ik probeer de paper "The Quantum Theory of Optical Coherence" van Roy F. Glauber (1963) te doorgronden, maar zonder veel succes, voornamelijk doordat variabelen zonder enige toelichting gebruikt worden. Mijn kennis op het gebied van QM is beperkt. Kan iemand mij de variabelen in 2.4 en 2.10 toelichten? (Omega is gewoon angualar frequency? Wat betekent die e?)

Dank!

Ps. Artikel staat oa. hier: http://www.ifi.unicamp.br/gpoms/curso%20gaston%202010/glauber1.pdf

[JorisL]

Als ik het goed begrijp is die kleine

\(\hat{e}\)

de fouriergetransformeerde in het frequentie domein van de operator

\(\hat{E}\)

. Waarbij ik de andere notatie voor operatoren gebruik. Welke jij hoogstwaarschijnlijk gebruikt.

De delen

\(\hat{E}^{(+)}\)

en

\(\hat{E}^{(-)}\)

zijn dan annihilatie resp. creatie operatoren. Zoals bijvoorbeeld bij het optellen van angulaire momenten en een afleiding van de energietoestanden bij een quantum harmonische oscillator (Zie bijvoorbeeld het boek "Introduction to quantum mechanics" van Griffiths waarin het vrij toegankelijk uitgelegd staat welk eenvoudig te vinden is op internet ).

[Scipio]

Bedankt! Haha Griffiths is ondertussen mijn rots in de branding Twee nieuwe vragen:

- Glauber gaat uit van de "Heisenberg picture", Griffits van de "Schrödinger picture" (either operators or statevectors timedependent, respectively). Dus in hoeverre heb ik wat aan Griffiths als het op derivations aan komt?

- Glauber definieert E(rt) als een operator, terwijl ik gewend ben het te beschouwen als een functie. Het verschil is dat een operator pas betekenis heeft als hij toegepast wordt op een functie/statevector? (Dit is immers bij bv. d/dx het geval?) En hoe moet ik dan E in de maxwell equations zien, gezien het daar los gebruikt wordt?

Dus de functie E(rt) geeft een waarde terug voor een gegeven positie en tijd, terwijl de operator E(rt) toegepast moet worden op een state vector, eg. E(rt)|a> voordat deze een uitkomst geeft?

[edit] zelfde vraag gaat op voor fouriertransformatie: als E(rt) een operator is, kan je er dan een fourier analysis op toepassen? Ik kan me iets dergelijks met d/dx bv niet voorstellen

[Scipio]

En nog een derde vraag:

Wat betekent uitdrukking 2.14 precies? Als ik het goed begrijp krijgen we de final state nadat we E+ toepassen op de initial state, maar dan zou je toch iets verwachten als E+(rt) |i> = |f>? (Deze hele wijze van notatie is redelijk nieuw voor mij)

[eendavid]

- Glauber definieert E(rt) als een operator, terwijl ik gewend ben het te beschouwen als een functie. Het verschil is dat een operator pas betekenis heeft als hij toegepast wordt op een functie/statevector? (Dit is immers bij bv. d/dx het geval?) En hoe moet ik dan E in de maxwell equations zien, gezien het daar los gebruikt wordt?

Klopt. QM verplicht je alle observabelen als operatoren te zien. Dit betekent dat voor een ééndeeltjes-systeem, x moet gepromote worden naar een operator

\(\hat{x}\)

. Hetzelfde geldt voor een veld: E( r) moet gepromote worden naar een 'operatorveld'

\(\hat{E}(r)\)

(of E(r,t) in het Heisenbergbeeld). De precieze definitie van de ruimte waarop deze operatoren inwerken is eerder formeel (ruwweg, onderstel een vacuum toestand en neem

\(\hat{E}^{(+)}_{\mu_1}(r_1)...\hat{E}^{(+)}_{\mu_n}(r_n)|\text{vac}\rangle\)

als de toestandsruimte). Ook vergelijkingen 2.1 zijn bijgevolg formeel (uiteindelijk moet je denk ik met een rigged Hilbert ruimte werken en daarop operatoren als

\(\nabla\)

definieren).

zelfde vraag gaat op voor fouriertransformatie: als E(rt) een operator is, kan je er dan een fourier analysis op toepassen? Ik kan me iets dergelijks met d/dx bv niet voorstellen

Merk op dat je enkel de fourier-transform in de tijd neemt. De fouriertransformatie van d/dx zou

\(\frac{1}{2\pi}\delta(\omega)\)

zijn. Maar in het algemeen is het wel ingewikkelder en is (2.4) de impliciete definitie ((2.10) is de exacte definitie van de operator die je uiteindelijk nodig hebt).

[JorisL]

1. In griffiths word uitgegaan van

\(\hat{A}|\psi (t)>\)

. In de heisenberg picture zijn de operatoren tijdsafhankelijk en de toestanden zijn telkens hetzelfde (meestal de toestand op t=0).

Bij schrodinger geldt

\(|\psi (t)> = \hat{U}|\psi (0)>\)

waarbij de evolutieoperator

\(\hat{U}(t) = \exp \left( \frac{-i \hat{H}t}{\hbar}\right)\)

de tijdsevolutie geeft. H is de gekende hamiltoniaan uit de schrodinger vergelijking.

Je kan dus je golffuncties splitsen in evolutie en een constant gedeelte.

De twee pictures zijn uiteindelijk volledig equivalent.

In het boek van Dalibard & Basdevant wordt eventjes geraakt aan het Heisenberg picture (denk hoofdstuk 7). Ik weet niet of het makkelijk te vinden is (online), je moet dan ook wel de oplossingen vinden omdat het een oefening is.

2. Je hebt het over de Maxwell vergelijkingen. Maar daar wordt klassiek gewerkt. Waarin E gemeten wordt.

Hier hebben ze het over de operator

\(E=E^{(+)}+E^{(-)}\)

. Hierin hebben de (inherent) complexe delen, die ook in de Maxwelltheorie voorkomen, wel een betekenis in het quantummechanische geval.

In de klassieke Maxwell theorie worden die complexe velden beschouwd als handige mathematische constructies.

In de kwantummechanica komen ze overeen met absorptie resp. emmissie van individuele fotonen.

3. Wat jij klopt. Maar zij hebben het over matrix elementen.

Je weet (of misschien niet) dat de operatoren in kwantummechanica voorgesteld kunnen worden als matrices.

Dan heb je de matrix elementen

\(A_{fi}=<f|\hat{A}|i>\)

.

Als je dan A op |i> laat inwerken krijg je in het algemene geval een 'gemengde' toestand.

Die matrix elementen komen overeen met de

\(C_n\)

in

\(\Psi = \sum_n C_n \psi_n\)

die Griffiths meestal gebruikt.

Als ergens iets niets duidelijk is aarzel dan niet om verdere hulp te vragen.

[Scipio]

Bedankt! Ik begin erin te komen geloof ik. Wat ik niet snap is uitdrukking 3.2 (3.1 trouwens ook niet echt). Als ik het goed begrijp is de verwachtingswaarde van operator O, toegepast op een volledig gedefenieerde state vector r, gelijk aan &--#60;r|O|r&--#62;, en gaat uitdrukking 3.2 op wanneer de exacte state vector niet bekend is? Het komt er dan op neer dat we een gewogen gemiddelde over alle mogelijke state vectors nemen om een gemiddelde verwachtingswaarde te vinden? En waarom is dit in godsnaam gelijk aan de rechterkant van de vergelijking 3.2? (Zoals jullie wellicht merken, zit ik nog niet echt in de hiervoor vereiste wiskunde)

En een volgende vraag: waarom worden de argumenten van E(-) en E(+) in 3.6 opeens los gekoppeld? Glauber zegt iets dat dit dient om de correlatie tussen twee verschilende punten in ruimte/tijd te evalueren, maar is het niet logischer om dat te doen door twee photondetectors op te zetten op die punten (hetgeen dus een functie oplevert die volgens Glauber second-order correlation beschrijft?) Ik snap hoe, als 3.2 geldt, we van 2.15 naar 3.3 komen, maar in 2.15 verkregen we de E(-) door het kwadraat van |E(+)| te nemen; gezien dat de oorsprong van de E(-) is moet deze toch hetzelfde argument als de geassocieerde E(+) hebben?

Nogmaals heel erg bedankt voor jullie hulp, heb er heel veel aan!

[Scipio]

Ook nog een wat fundamentelere vraag: na uitdrukking 4.6 stelt Glauber dat wanneer een veld volledig coherent is, detectors volledig onafhankelijk tellen. Hij gebruikt correlatie die optreedt in experimenten met photon detectors in 'klassiek' coherente velden als bewijs voor gebrek aan coherentie van 2 orde en hoger. Ik snap het wiskundige argument, maar hoe moet ik me de relatie tussen correlatie en coherence dan voorstellen? Ik was er (in al mijn naiviteit) vanuit gegaan dat het ongeveer hetzelfde was, maar hier worden ze effectief als tegengestelde voorgesteld?

[JorisL]

Ik probeer al een paar dagen te reageren, maar het komt er niet van.

Ik ben zelf erg druk momenteel. Ten vroegste de week van 22 mei zie ik enigzins de mogelijkheid om me er meer in te verdiepen. Want ik kan hier wel vlug oppervlakkige antwoorden geven, maar daar heb je natuurlijk niets aan.

Als iemand anders even kan/wil helpen?

[physicalattraction]

Als E(rt) een operator is, kan je er dan een fourier analysis op toepassen? Ik kan me iets dergelijks met d/dx bv niet voorstellen

Dit gaat formeel op exact dezelfde wijze als dat je al gewend bent met functies. De operator

\(\hat{e}(\omega,\vec{r})\)

is zodanig gedefinieerd dat

\(\hat{E}(\vec{r},t) | \phi \rangle = \int \limits^{\infty}_{-\infty} \hat{e}(\omega,\vec{r}) | \phi \rangle e^{-i \omega t} d \omega\)

voor elke toestand

\(| \phi \rangle\)

in de Hilbert ruimte waarin je werkt. De auteur laat hier nog in het midden hoe je deze dan uitrekent, dit is nu niet van belang voor het begrip.

En nog een derde vraag: Wat betekent uitdrukking 2.14 precies? Als ik het goed begrijp krijgen we de final state nadat we E+ toepassen op de initial state, maar dan zou je toch iets verwachten als E+(rt) |i> = |f>? (Deze hele wijze van notatie is redelijk nieuw voor mij)

Je kunt het als volgt zien. Het matrixelement

\(E_{fi}\)

geeft de (complexe) kans(amplitude) dat onder toepassing van operator

\(/hat{E}\)

de toestand

\(| i \rangle\)

overgaat in de toestand

\(| f \rangle\)

. Hiervoor bekijken we hoeveel de toestand

\(\hat{E} |i\rangle\)

overeenkomt met de toestand

\(|f\rangle\)

. Kijken in hoeverre twee toestanden overeenkomen doen we met een inproduct, dus vandaar dat we het inproduct tussen beide toestanden (

\(\hat{E}|i\rangle\)

en

\(|f\rangle\)

) uitrekenen:

\(E_{fi} = \langle f | \hat{E} | i \rangle\)

.

Ik ben nog niet aan hoofdstuk 3 toegekomen, dus kan nog niet op al je vragen een antwoord geven. Ik weet trouwens ook niet of ik dit kan wanneer ik het wel gelezen heb, maar ik zal kijken hoe ver we samen kunnen komen.