Rotatie en angulair moment

[barto]

Ik ben het volgende vraagstuk tegengekomen in één of andere bundel met oefeningen:

Er zijn twee ronde schijven die zich evenwijdig bevinden:

één met straal r₁ en rotatie-inertie I₁ die draait aan een hoeksnelheid ω₀.

en één met straal r₂ en rotatie-inertie I₂ die in stilstand is.

De twee schijven worden tegen elkaar gebracht. In het begin slippen ze een beetje, maar na enige tijd bewegen ze met constante hoeksnelheid. Wat is dan de hoeksnelheid van de schijf met straal r₁? (We verwaarlozen wrijving met de lucht of wat dan ook.)

---

Dit is hoe ik het eerst had aangepakt:

Het verschil in angulair moment ΔL van het hele systeem voor en na het gebeuren is gelijk aan de som van alle externe krachtmomenten τ_ext = 0 N.m dus L is constant.

Voor de aanraking is L=I₁ω₀ en na de aanraking is L=I₁ω₁+I₂ω₂.

Na de aanraking zijn na enige tijd de baansnelheden constant en tegengesteld, dus ω₁r₁= -ω₂r₂.

Dit gecombineerd met het vorige geeft ω₁=(I₁ω₀)/(I₁-(r₁/r₂)I₂).

---

Een andere aanpak (niet mijn idee):

Stel dat de schijven tijdens hun aanraking gedurende een tijd Δt een kracht ±F op elkaar uitoefenen. (Het krachtmoment moet tegengesteld worden genomen voor een van beide schijven, neem dus bvb de eerste.)

Dan geldt voor de reeds draaiende schijf: τ₁.Δt = ΔL₁, dus -r₁F.Δt = I₁ω₁- I₁ω₀. (a)

Voor de andere schijf: r₂F.Δt = I₂ω₂. (b)

(a) gedeeld door (b) geeft: (r₁/r₂)I₂ω₂= I₁ω₀- I₁ω₁.

Er geldt na een tijdje dat de baansnelheden gelijk zijn (maar volgens mij moet het dus tegengesteld zijn), zodat ω₁r₁= ω₂r₂.

Dit gecombineerd met het vorige geeft uiteindelijk ω₁=(I₁ω₀)/(I₁+(r₁²/r₂²).I₂).

---

Welke van de werkwijzen is nu de juiste?

Voor mij zijn ze allebei even logisch dus ik kan er geen verklaring voor vinden waarom de resultaten verschillend zijn.

[aadkr]

Voor die ronde schijf met straal r(1) geldt dat deze een massaimpulsmoment heeft van

\(L=J_{1}\cdot \omega_{0} \)

Die andre schijf staat stil dus heeft een L van nul

dit bij elkaar opgeteld geeft je het totale massaimpulsmoment van het stelsel

dit is een constante

[barto]

Hier geraak ik niet veel mee verder. Het enige dat ik dan kan doen is terug de zelfde werkwijze maken als ik eerst had gedaan.

Of is de fout die ik maak dat je alleen angulaire momenten kan optellen als die rond dezelfde rotatie-as bepaald zijn?

[pgbakker]

De enige juiste methode is het systematisch toepassen van de wetten van de mechanica. Voor dit systeem van twee roterende schijven is dat de wet van het behoud van impulsmoment. Hier: M = J. d(omega)/dt, M staat voor het moment van de uitwendige krachten t.o.v het zwaartepunt of t.o.v. een vast punt, J = massatraagheidsmoment en omega is de hoeksnelheid. De grote schijf met straal R heeft een massatraagheidsmoment J0 en een hoeksnelheid omega(0), de stilstaande schijf heeft een massatraagheidsmoment J1 en omega1 =0.

Beide schijven worden met een constante normaalkracht N tegenelkaar aangedrukt waardoor de stilstaande schijf in beweging komt. In eerste instantie treedt slip op, dus de wrijvingskracht W die beide schijven op elkaar uitoefenen is maximaal en blijft constant zolang de normaalkracht N constant blijft.

Beschouw nu de beweging van iedere schijf afzonderlijk.

Voor de grote schijf geldt W.R = - J0.d(omega)/dt.

Voor de kleine schijf geldt W.r = J1.d(omega1)/dt.

W is constant in de tijd dus we kunnen beide vergelijkingen integreren naar de tijd, dit levert:

Omega = - WR/J0 .t + constante0

Omega1 = Wr/J1.t + constante1

Nu randvoorwaarden invullen: op t =0 geldt omega = omega0 en omega1 = 0. Dit levert constante0 = omega0 en constante1 = 0

Het slipproces duurt tot het moment dat beide schijven dezelfde omtreksnelheid hebben , dus tot het moment dat omega.R = omega1.r, noem dit tijdstip ts.

Dit levert

ts = omega0.R.J0 J1/W/(J0.r^2 + J1.R^2).

Vanaf dit tijdstip is de beweging constant in de tijd, de wrijving tussen beide schijven is nul en de hoeksnelheden zijn constant n.l.:

Omega1 = omega0.r.R.J0/(J0.r^2 + J1.R^2) en

Omega = omega0.r^2.J0/(J0.r^2 + J1.R^2)

Dit is m.i. de juiste aanpak.

Gr. P.G. Bakker

[pgbakker]

Nog een reactie.

De tweede methode van jouw geeft het wel juiste antwoord.

Maar probeer nog eens uit te leggen hoe je de wetten van de mechanica toepast.

Gr. P.G. Bakker

[barto]

Ja, die oplossing van jou lijkt me logisch.

Bij mijn eerste oplossing had ik gewoon zomaar gesteld dat de som van de angulaire momenten L constant is. Maar ik had hier niet echt een verklaring voor.

[pgbakker]

Jouw tweede oplossing is correct, maar wat is de redenering erachter. Kun je dat nog eens uitleggen?

Gr. P.G. Bakker

[barto]

Wel, de tweede oplossing is niet van mij. Dat was de oplossing die bij de vraag stond. Ik snap de 'redenering' ook niet zo goed, want de kracht die ze op elkaar uitoefen is nogal vaag omschreven.

[pgbakker]

In mijn reactie van 28 april veronderstelde ik dat de de wrijvingskracht tussen beide schijven constant. Perfect constant zal in de praktijk moeilijk te realiseren zijn. Dus komt de vraag op: heeft het niet constant zijn van de wrijvingskracht invloed ? Hoe pakken we dit aan?

Gr. pgbakker