surjectiviteit van een lineaire afbeelding nagaan

[jbeckers]

(mss is dit een faq, een snelle zoekopdracht leverde alvast niks op, dus here goes: )

ik ben lineaire algebra aan het blokken (wat voorlopig vrij goed lukt), maar ik zit toch wel met een vraag waar ik niet uit raak: hoe ga je na of een lineaire afbeelding surjectief is?

neem aan dat f van V naar W gaat, dan zou je volgens de definitie moeten bewijzen dat er voor elk element w uit W een element v uit V is zo dat f(v) = w. vraag is: hoe doe je dit?

bij eindigdimensionale vectorruimten zie ik dit nog wel gebeuren met basisvectoren en de beelden ervan, al weet ik niet helemaal zeker of mijn werkwijze klopt.

bij oneindigdimensionale vectorruimten weet ik niet goed waar te beginnen...

[jbeckers]

vb: A : : (x1, x2, x3, ..., xi, ...) (x1 - x2, x2 - x3, ..., xi - xi+1, ...)

[PeterPan]

vb: A : : (x0, x1, x2, ..., xi, ...) (x0 - x1, x1 - x2, ..., xi - xi+1, ...)

Zeg (y₀, y₁, y₂, ... ) een willekeurig element uit de beeldruimte,

dan is x_n - x_n+1 = y_n voor elke n.

Dus [sum_k] y_n = [sum_k] (x_n - x_n+1) = x₀ - x_k+1.

Dus x_k+1 = x₀ - [sum_k] y_n voor elke k

en A^-1(y₀, y₁, y₂, ... ) = (x₀, x₀ -y₀, ... , x₀ - [sum_k] y_n , ...)

x₀ is blijkbaar een vrije variabele. Kies x₀ = 0 en

A^-1(y₀, y₁, y₂, ... ) = (0, -y₀, ... , - [sum_k] y_n , ...).

[dr. E. Noether]

In het algemeen is dit lastig omdat je geen gebruik kunt maken van handige stellingen. Misschien is het een optie om direct de inverse afbeelding aan te geven en op basis daarvan te stellen dat de originele afbeelding surjectief is.

[jbeckers]

<snipperdesnip>

aha, ik zie het voor me. je hebt dus niet eens een basis nodig, enkel maar de inverse afbeelding...

merci voor de hulp!

[PeterPan]

[aha, ik zie het voor me. je hebt dus niet eens een basis nodig, enkel maar de inverse afbeelding...

Er zit wel een foutje in de bewijsvoering.

Ik schrijf: A^-1(...) = ...

Er moet natuurlijk staan ... A^-1(...).

A^-1(...) moet een niet lege verzameling zijn voor elk argument (...).