Singuliere waardenontbinding

[Siron]

Hallo,

Stel dat

\(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\)

die de eenheidssfeer in

\(\mathbb{R}^3\)

in een ellips met volgende principale semi-assen afbeeldt:

\(x = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)^{T} \mapsto Ax = (2,0,0)^{T}\)

\(x=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},0\right)^{T} \mapsto Ax = (0,-3,0)^{T}\)

\(x=(0,0,1)^{T} \mapsto Ax = (0,0,6)^{T}\)

Gevraagd is de singulierewaardenontbinding van

\(A\)

te zoeken zonder expliciet

\(A\)

te berekenen.

Iemand een hint?

[Siron]

Ik denk dat ik het ondertussen gevonden heb.

Stel

\(B = \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0 \\ \frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)\)

dan merk ik op dat:

\(A(Be_1) = (2,0,0)^{T}\)

\(A(Be_2) = (0,-3,0)^{T}\)

\(A(Be_3) = (0,0,6)^{T}\)

Aangezien de matrixvermenigvuldiging associatief is kan ik besluiten dat

\(AB = \left(\begin{array}{ccc} 2&0&0 \\ 0&-3&0 \\ 0&0&6 \end{array} \right)\)

of nog

\(A = \mbox{I}_3 \left(\begin{array}{ccc} 2&0&0 \\ 0&-3&0 \\ 0&0&6 \end{array} \right) B^{-1}\)

Aangezien

\(B\)

orthogonaal is moet gelden

\(B^{-1}=B^{T}\)

en kan ik besluiten dat dit een mogelijke singuliere waarden ontbinding van

\(A\)

is en bijgevolg de singuliere waarden van

\(A\)

zijn: 6, 2 en -3.