bewijs via inductie?

[dietervdf]

Hallo

In een bundel met herhalingsstof van het middelbare onderwijs vond ik de volgende oefening.

Bewijs dat voor alle

\(n \in \mathbb{N}_0 \)

en

\( x \in \mathbb{R}\)

\(\left\{ \begin{array}{rcl} \cos nx &= &C_n (\cos x)&

\sin nx &=& \sin x S_{n-1}(\cos x) \end{array} \)

met

\( C_n\)

en

\(S_n\)

veeltermfuncties van graand n met strikt positieve hoogstegraadscoëfficient.

[Probeer de beide bewerkingen niet afzonderlijk te bewijzen.]

Ik ben hieraan begonnen via volledige inductie, maar zit eigenlijk al vast bij de inductie basis. Waarom zou

\( \cos x = C_1(\cos x)\)

, ik vermoed dat dit toch geschreven kan worden als

\( a_1\cos x +a_0\)

Iemand enig idee?

*ik krijg de latex code precies nie compleet juist...

[tempelier]

\(\[ \left\{ \begin{array}{lrcl} \cos nx &=& C_n (\cos x)\\

\sin nx &=& \sin x S_{n-1}(\cos x) \end{array} \right. \]\)

[Th.B]

Wauw, leuke vraag!

Ik kan maar moeilijk geloven dat zoiets in Nederland middelbare schoolstof is trouwens. Misschien in België wel...

Lees de vraag nog eens goed: niet proberen om allebei los te bewijzen, ze komen allebei min of meer gelijk van een belangrijkere en bekendere stelling af.

Als ik een hint geef zeg ik het eigenlijk meteen voor .

[dietervdf]

Bedankt Tempelier!

Th. B.

Het lijkt precies wat op De moivre, maar ik geraak niet verder met die veeltermfuncties...

[Th.B]

Fijn dat je dat inziet! De rest is niet heel moeilijk. Gebruik het binomium van Newton! Bekijk het reële en het complexe deel afzonderlijk.

[dietervdf]

Bedankt voor de tips Th. B.

Ik begrijp nog steeds niet echt hoe ik hiermee uit de startblokken moet, en waar ik het binomium kan hanteren...

Voorlopig denk ik dat de opgave kan herschreven worden in één gedaante:

\(\[ (\cos x + i \sin x)^n = C_n(\cos x) +i \sin x S_{n-1}(\cos x)\]\)

Als ik dit nu wil gaan bewijzen aan de hand van inductie zit ik al vast bij de inductiebasis, immers ik kan niet zeker zeggen dat dit klopt voor

\(n = 1\)

Waarom zou

\(\[ \cos x + i \sin x = C_1(\cos x) +i \sin x S_{0}(\cos x)\]\)

Als

\(C_1\)

een veelterm is van de eerste graad, dan is dat van de gedaante

\(a_1 x + a_0\)

, hier met

\(\cos x\)

vormt dit

\(a_1\cos x + a_0\)

Idem voor

\(S_0\)

, dat zal enkel een constante term zijn, maar dan wordt

\(i \sin x S_{0}(\cos x) = i b_0 \sin x\)

Waarschijnlijk denk ik ergens compleet fout, want ik zie zelfs niet in hoe ik het binomium kan hanteren...

(moet ik

\(\[ (\cos x + i \sin x)^n \]\)

ontwikkelen mbv het binomium?

[Th.B]

Je moet inderdaad doen wat je in de laatste regel van post #5 zet. Schrijf het in somnotatie (met het sommatieteken dus). Lukt dat?

Je hoeft niet per se met volledige inductie te werken, Met inductie kom je er misschien wel met wat goniometrie e.d. (niet met de Moivre) maar dan moet je ze allebei afzonderlijk aanpakken. In de vraag staat dat dat niet de bedoeling is, dus ze willen waarschijnlijk dat je met de Moivre aan de slag gaat.

De manier die ik je probeer uit te leggen werkt niet met inductie. Je schrijft de somnotatie op voor de ontwikkeling van (cos x + i sin x)ⁿ en maakt gevalsonderscheid: het reële deel van deze uitdrukking is gelijk aan cos (nx) en het imaginaire deel aan sin (nx). Duidelijk?

Als je het reële deel wilt nemen moet je zorgen dat de i tot een even macht verheven wordt. Dan wordt de sinus dus ook tot een even macht verheven.

Gebruik dat sin²x + cos²x = 1.

Is dit voldoende?

Ik wil nog wel even kijken naar een evt. oplossing met goniometrie en volledige inductie, maar die heb ik zo niet paraat.

[dietervdf]

Bedankt voor de uitleg Th. B.

Ik denk dat ik dankzij je tips iets op het spoor ben, maar ik denk dat ik ergens nog een laatste duwtje nodig heb?

\( \[ (\cos x + i \sin x)^n = \sum^n_{k=0} \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right) \cos^{n-k}x\cdot i^k\cdot \sin^k x\]\)

Ik dacht nu eerst om dit laatste op te splitsen in een even stuk en een oneven stuk, zodat ik een som kreeg van de reële stukken en een som van de imaginaire stukken.

\( \[ \sum^{n:2}_{k=0} (-1)^k\left(\begin{array}{c}n\\2k\end{array} \right) \cos^{n-2k}x \cdot \sin^{2k} x +\ldots \]\)

en dan iets gelijkaardig voor de oneven stukken.

Maar ik loop hier wat vast indien n =3, dan zou dit een som zijn met bovengrens 1,5?..

Ik dacht dan maar het even minder ambitieus aan te pakken, en dit eens uit te testen voor verschillende waarden van k

• k=0 (even) het eerste reëel deel (van de hoogste graad cos x krijg) (ziet er goed uit)
  
  \( \[ \left(\begin{array}{c}n\\0\end{array} \right) \cos^{n}x = \cos^n x\]\)
• k=1 (oneven), eerste imaginaire deel, ziet er ook zeer goed uit
  
  \( \[\left(\begin{array}{c}n\\1\end{array} \right) \cos^{n-1}x \cdot i \cdot \sin x\]\)
• k=2 (even), hier begint de miserie?
  
  \( \[-\left(\begin{array}{c}n\\2\end{array} \right) \cos^{n-2}x\sin^2 x\]\)
  Die
  \(\sin ^2 x\)
  vind ik verveled, die hoort niet thuis in het reële deel dat ik wil krijgen...
• k=3 (oneven), compleet naar de vaantjes?
  
  \( \[-\left(\begin{array}{c}n\\3\end{array} \right) \cos^{n-3}x\cdot i\cdot \sin^3 x\]\)
  Er staat opnieuw een
  \(\sin^2 x\)
  teveel..., en vanaf hogere waarden voor k wordt het enkel erger?

Bepaalde dingen zien er goed uit, maar ik heb nog niet de indruk dat ik er ben...?

[Th.B]

Ik zei, gebruik dat sin²x + cos²x = 1. Bij k groter of gelijk aan 2 schrijf je steeds (sin²x)^k= (1-cos²x)^k

Zie je dat het nu wel klopt? Voor oneven k (de complexe termen dus) splits je een even macht van de sinus af en schrijft die om zoals hierboven. Voor even k (de reële termen) schrijf je de sinus helemaal om in cosinus.

Bij k=3 zie je nu bijvoorbeeld sin³x = sin x (1-cos²x) en dat is een sinus vermenigvuldigd met een polynoom van cos x van graad 2 met positieve coëfficiënt van de term met de hoogste macht, want het minteken valt weer weg. Immers, i² = -1.

Zo kun je steeds doorgaan voor elke k.

[Th.B]

Niet mijn bedoeling om deze topic voor niets omhoog te halen, maar is het nu duidelijk voor TS?

[dietervdf]

Het is mij inderdaad duidelijk, bedankt voor de uitleg.

Ik heb het nog eens uitgeschreven tot k = 5, even om te zien wat er precies gebeurd met die

\( \sin^k x\)

. Eigenlijk best cool dat er steeds een hoogstegraads

\( \cos^n x\)

met positieve coëfficient te voorschijn komt.

Misschien nog een vraagje, ik heb het bewijs wel door, maar hoe zou je zoiets formeel moeten noteren? Zou het volstaan dit uit te voeren tot k = 3 en dan ergens analoog te formuleren, of met de woorden zoals jij dat deed in je voorlaatste post?

[Th.B]

Mooi zo! Blij dat ik kon helpen.

Een bewoording zoals ik deed in post #9 komt een heel eind in de richting (je maakt jezelf meer dan duidelijk), maar het is natuurlijk mooier en beter om het in wiskundige taal te vatten. Misschien kan iemand met wat meer LaTex-ervaring je verder helpen, ik heb daar nul ervaring mee en dan ga ik niet beginnen aan het uitschrijven van dit soort bewijzen, dat zou een levenswerk worden.

Het spijt me, maar ik kan dat niet hier posten.

Iemand anders die hier een handje kan helpen?

[Drieske]

In mijn ogen is inductie eerlijk gezegd het makkelijkst. We geven een bewijs uit inductie. Het is triviaal dat cos(x) en sin(x) (dus n=1) voldoen. Inderdaad, in dit geval is gewoon C₁(x) = x en S₀(x) = 1.

Stel nu dat de formule klopt voor n = k-1, i.e. cos((k-1)x) = C_k-1(cos(x)) en sin((k-1)x) = sin(x) S_k-2(x). We zullen bewijzen dat ze ook klopt voor n = k. We willen dus dat er een veelterm C_k(x) bestaat zodat cos(k x) = C_k(cos(x)) en sin(kx) = sin(x) S_k-1(cos(x)) voor alle x. We weten dat

cos(a + b) = cos(a ) cos(b ) - sin(a ) sin(b )

en dus is

cos(k x) = cos((k-1 + 1)x) = cos((k-1)x) cos(x) - sin((k-1)x) sin(x) = C_k-1(cos(x)) cos(x) - sin²(x) S_k-2(cos(x)).

Het is nu meteen duidelijk dat dit een veelterm van graad k oplevert, door te gebruiken dat sin²(x) = 1 - cos²(x). Er geldt dat

C_k(x) = C_k-1(x) x - (1 - x²) S_k-2(x).

Merk op dat de hoogstegraadscoëfficiënt inderdaad positief is! Analoog, door nu te gebruiken dat

sin(a + b) = sin(a ) cos(b ) + sin(b ) cos(a )

bekomen we de formule voor S_k-1(x).

Maar goed, terugkerend naar jouw vragen: neen, het uitwerken voor 3 is geen bewijs. Ik kan wel meer details geven, maar als je niet weet dat (cos(x) + i sin(x))ⁿ = cos(n x) + i sin(n x), dan heb je daar niets aan. Weet je dat wél, dan herleid je het te bewijzen tot een bijna-trivialiteit.

[Safe]

Ck(x) = Ck-1(x) x - (1 - x²) Sk-2(x).

Het is wel verwarrend dat je hier x gelijkstelt aan cos(x) ...

Opm: hoe herstel je de kopie?

[Drieske]

Het is wel verwarrend dat je hier x gelijkstelt aan cos(x) ...

Ik stel niets aan elkaar gelijk. Jij (en anderen misschien ook, maar dat is niet mijn oordeel) leest dat zo. Ik snap wat je bedoelt, maar x is gewoon een variabele, en dus lijkt het mij ook duidelijk wat ik bedoel. Je noteert toch ook f(x) en als inverse f^-1(x) en niet f^-1(y).