traagheidsmoment van een regelmatige n-hoek

[In physics I trust]

Hoi allemaal,

Het traagheidsmoment van een figuur ten opzichte van de x-as wordt gedefinieerd als zijnde:

\(I_x=\int y^2 dA\)

Nu wilde ik dit berekenen van een regelmatige n-hoek. Daarvoor deel ik de figuur op in 2n rechthoekige driehoeken. Voor de goede orde, en zonder de algemeenheid te schaden, kan ik het zo kiezen dat de eerste driehoek zijn zijde samenvalt met de y-as, om de rotatie 'bovenaan' te laten starten en kloksgewijze de 2n driehoeken af te lopen.

Als je het traagheidsmoment van zulk een driehoekje ten op zichte van de x-as bepaalt, bekom ik

\(\frac{r^4}{4} tan \frac{\pi}{n}\)

.

Hoe kan ik nu op een algemene wijze de som maken van deze driehoekstraagheidsmomenten, rekening houdende met het feit dat de opeenvolgende driehoeken 360°/n gedraaid zijn?

Alvast bedankt!

[aadkr]

laten we een vierkant nemen met zijden gelijk aan 2.a

de x-x as gaat door het zwaartepunt van het vierkant

de bovenkant van het vierkant loopt parallel met de x-xas

dan krijgik

\(I_{t.o.v. x-xas}=\frac{4}{3} \cdot a^4 \)

met

\(r^2=a^2+a^2\)

\(r^2=2 \cdot a^2\)

\(r^4=4 \cdot a^4\)

\(I_{t.o.v. x-xas}=\frac{1}{3} \cdot r^4\)

ik heb het vierkant opgedeeld in 2.4=8 gelijkzijdige rechthoeken.

voor welk van die 8 rechthoekige driehoeken zou dan moeten gelden dat

\( I=\frac{r^4}{4}\)

?

[In physics I trust]

Ik heb het intussen gevonden, zie bijlage.

2b

(504.43 KiB) 304 keer gedownload