Fourierreeks coëfficiënten

[benno321]

Goedendag

Ik heb een vraag in verband met de coëfficiënten van een fourierreeks.

Op deze link: http://pagines.uab.cat/dcampos/sites/pagines.uab.cat.dcampos/files/PRE_81_066201.pdf

wordt er de fourierreeks van de differentiaalvergelijking: u''(t)+u(t)+lambda*f(t). Dan wordt er een fourierreeks(3) opgesteld, dan gaan ze die coëfficiënten zoeken door dit in te vullen in de differentiaalvergelijking, maar dan snap ik niet hoe ze aan formule(4) komen.

Als ik dit invul bekom ik:

Sum(αm*cos(2(2m-1)πt/T)-Sum(αm*(4(2m-1)^2π^2/T^2)*cos(2(2m-1)*π*t/T)+lambda*f(α1*cos(2πt/T)=0

Ik zou absoluut niet weten hoe je hier uw coefficieten uit moet bepalen aangezien er 2 reeksen staan en 1 gewone functie. In de tekst zeggen ze ook dat met dan integreert van 0 tot 2π en dat men ook vermenigvuldigt met cos(2πt/T). Ik snap ook niet waarom ze dat doen.Dus mijn vraag is simpel gezegd, hoe komt men aan de formule(4) bij de bovenstaande link

Alvast bedankt

benno321

[EvilBro]

In de tekst zeggen ze ook dat met dan integreert van 0 tot 2π en dat men ook vermenigvuldigt met cos(2πt/T).

Dat staat er volgens mij niet. Lees het stuk tekst tussen formule 3 en 4 nog eens rustig door en zoek op wat "the orthogonality of the trigonometric functions" inhoudt.

[benno321]

Moet ik dan het inproduct <cos(2(2n-1)*pi*t/T),f(α1*cos(2πt/T)>/<cos(2(2n-1)*pi*t/T),cos(2(2n-1)*pi*t/T)> uitrekenen en dan is het inproduct gedefinieerd door int(f(t)*g(t)*dt) met grenzen 0 tot pi/2?

[benno321]

En is dit inproduct dan gelijk aan αm?

[EvilBro]

\(\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2} (\cos(a+b) + \cos(a-b))\)

dus:

\(\cos(m x) \cdot \cos(n x) = \frac{1}{2} (\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x))\)

Als \(|m|=|n|\) dan is er een constante term. In alle andere gevallen heb je twee cosinussen.

Als je de integraal van een cosinus neemt over een geheel aantal periodes dan zal deze integraal nul zijn. Hieruit volgt dat als je de integraal neemt van de vermenigvuldiging van twee cosinussen dat hier ook nul uit komt. De vermenigvuldiging is immers ook te schrijven als de sommatie van twee cosinussen.

Hierop is een uitzondering: Als \(|m|=|n|\) krijg je een constante term en deze zorgt voor een integraal ongelijk aan nul. Deze eigenschap kun je benutten.