Is algebra op differentialen legitiem?

[De leek]

Beste mensen,

Als natuur & wiskunde student zie ik vaak dat men in de natuurkunde, en ook in de wiskunde(bij bv differentiaal vergelijkingen), men ervanuitgaat dat differentialen dezelfde algebraische eigenschappen hebben als reële getallen. Er zijn genoeg voorbeelden hiervan.

Als we bijvoorbeeld een uitdrukking van de vorm f(x)dx = g(y)dy hebben dan impliceert dit dat f(x) = g(y) dy/dx. Affijn ik denk dat jullie begrijpen wat ik bedoel zo niet dan wil ik wel wat voorbeelden geven. Mijn vraag is is er een soort algemene stelling die zegt dat je op deze manier met differentialen om mag gaan? Ik hoor namelijk meestal dat het eigenlijk niet helemaal netjes is maar in de meeste gevallen wel goed werkt en het dus gewoon kan.

Is er een algemene stelling die zegt dat ik dit mag doen als aan bepaalde voorwaarden is voldaan? Kunnen jullie me vertellen hoe dit precies zit?

[Bartjes]

Er zijn een aantal manieren om differentialen en infinitesimalen wiskundig verantwoord in te voeren:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... tesimal%29

[Math-E-Mad-X]

Natuurkundigen doen dat inderdaad gewoon met het argument van "ach, het blijkt gewoon te werken" (een argument dat natuurkundigen wel vaker gebruiken bij gebrek aan wiskundige kennis).

Wiskundig is dit wel goed onderbouwd, alleen ben je daar waarschijnlijk nog niet ver genoeg voor met je studie. Toen ik studeerde leerde ik deze zaken bij de vakken integratietheorie en differentiaalmeetkunde, respectievelijk in het tweede en derde jaar van de studie wiskunde, als ik mij niet vergis.

[EvilBro]

Wat volgens mij niet netjes is, is de schrijfwijze. Het is mogelijk om de bovenstaande voorbeelden netjes op te schrijven, maar meestal wordt dat niet gedaan.

\(f(x(t)) \cdot \frac{d}{dt}x(t) = g(y(x(t))) \cdot \frac{d}{dt}y(x(t)) = g(y(x(t))) \cdot \frac{d}{dx}y(x(t)) \cdot \frac{d}{dt}x(t)\)

dus:

\(f(x(t)) = g(y(x(t))) \cdot \frac{d}{dx}y(x(t))\)

ofwel:

\(f(x) = g(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)

En als dx en/of dy als een zeer kleine verandering worden gezien dan worden deze bijna altijd opgeteld. Je hebt dan eigenlijk een limiet die de sommatie in een integraal doet veranderen.

Voor de duidelijkheid: het is mogelijk om infinitesimalen robuust te introduceren. Dat wordt echter meestal niet gedaan (datgene dat lijkt op een infinitesimaal in de afgeleide danwel de integraal is dat niet. Het is geen los iets). Het doen lijken alsof je dat wel doet (door beknopte schrijfwijze) is hetgeen dat niet netjes is.

[Bartjes]

Het wordt lastiger wanneer natuurkundigen tekeningetjes van fysische situaties maken waarin differentialen staan aangegeven. Zulke tekeningetjes worden gebruikt om differentiaalvergelijkingen voor die situaties op te stellen.

Ik "bezondig" mijzelf daar ook wel eens aan, en ik zou niet weten hoe je anders tot de gezochte differentiaalvergelijkingen kunt komen. Bijvoorbeeld hier:

http://sciencetalk.nl/forum/index.ph ... _p__966077

[EvilBro]

Maar in die situatie heb je het eigenlijk over zeer kleine verschillen. Daarmee leg je de verbanden vast en vervolgens neem je de limiet naar nul zodat er differentialen ontstaan.

[Bartjes]

Probleem is wat je daarbij wel en wat je niet mag verwaarlozen, in zo'n tekeningetje neem je die beslissingen op basis van je "gevoel voor verhoudingen". Is er nog een andere manier om zeker op de juiste differentiaalvergelijking uit te komen?

[De leek]

Wat volgens mij niet netjes is, is de schrijfwijze. Het is mogelijk om de bovenstaande voorbeelden netjes op te schrijven, maar meestal wordt dat niet gedaan.

\(f(x(t)) \cdot \frac{d}{dt}x(t) = g(y(x(t))) \cdot \frac{d}{dt}y(x(t)) = g(y(x(t))) \cdot \frac{d}{dx}y(x(t)) \cdot \frac{d}{dt}x(t)\)

dus:

\(f(x(t)) = g(y(x(t))) \cdot \frac{d}{dx}y(x(t))\)

ofwel:

\(f(x) = g(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)

En als dx en/of dy als een zeer kleine verandering worden gezien dan worden deze bijna altijd opgeteld. Je hebt dan eigenlijk een limiet die de sommatie in een integraal doet veranderen.

Voor de duidelijkheid: het is mogelijk om infinitesimalen robuust te introduceren. Dat wordt echter meestal niet gedaan (datgene dat lijkt op een infinitesimaal in de afgeleide danwel de integraal is dat niet. Het is geen los iets). Het doen lijken alsof je dat wel doet (door beknopte schrijfwijze) is hetgeen dat niet netjes is.

Je hebt nu die specifieke situatie bewezen voor het geval dat x en y geschreven kunnen worden als dfferentieerbare functies van t(of een willekeurige andere parameter). Maar het gaat me meer om een algemener bewijs. Met limieten gebruik je bv ook over het algemeen geen epsilon delta bewijzen, het zou wel erg zijn als je alle limieten op die manier moest bewijzen. Je kan de continuïteit voor een hele grote verzameling functies bewijzen en vervolgens mag je voor die functies(bv polynomen) gewoon van continuïteit uitgaan.

Ik vraag me af of er een dergelijke stelling bestaat voor de algebra op differentialen. En het begrip differentiaal is ook nog wel redelijk glibberig lijkt me, je kan niet zomaar over iets 'oneindig kleins' praten. Dat is volgens mij een erfenis uit de tijd van Newton en Leibniz toen ze dergelijke concepten nog niet formeler hadden uitgewerkt. Differentieren en integreren kun je prima definieren op basis van limietprocedures die je op hun beurt weer met epsilon delta kan verdedigen en zo een raamwerk krijgt waarin je je werk kan doen zonder glibberige begrippen te gebruiken. Dus er zijn eigenlijk 2 dingen:

1. Kun je differentialen binnen een raamwerk plaatsen waarin je niet expliciet gebruik maakt van glibberige begrippen als 'oneindig klein'?

2. Kun je vervolgens op basis van die definitie laten zien dat je differentialen (in bepaalde gevallen, zo algemeen mogelijk) op dezelfde manier algebraïsch mag manipuleren als reële getallen?

Als je dat kan doen is het formeel helemaal prima om gewoon die differentialen op die manier te gebruiken(net als limieten gebruiken zonder epsilon delta bewijzen). Zelf lijkt het me wel interessant om 1 keer te zien dat het werkt en mezelf daarvan te overtuigen.

[EvilBro]

Je hebt nu die specifieke situatie bewezen voor het geval dat x en y geschreven kunnen worden als dfferentieerbare functies van t(of een willekeurige andere parameter).

Ik heb het idee dat deze 'truuk' altijd werkt. Heb jij een voorbeeld waarbij dit niet werkt?

[Flisk]

limieten gebruik je bv ook over het algemeen geen epsilon delta bewijzen, het zou wel erg zijn als je alle limieten op die manier moest bewijzen. Je kan de continuïteit voor een hele grote verzameling functies bewijzen en vervolgens mag je voor die functies(bv polynomen) gewoon van continuïteit uitgaan.

Een differentiaal kan toch ook gedefinieerd worden adhv limieten?

\(dy=y'dx\)

of in limietvorm:

\(dy=\lim_{h \to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.\lim_{h \to 0}h\)

Neem nu twee functies v en w:

\(dv=\lim_{h \to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}.\lim_{h \to 0}h\)

en

\(dw=\lim_{h \to 0}\frac{w(x+h)-w(x)}{h}.\lim_{h \to 0}h\)

Dan is bijvoorbeeld dv/dw gelijk aan:

\(\frac{dv}{dw}=\frac{v'}{w'}\)

Dit mag wel enkel als beide functies afleidbaar zijn en de afgeleide van

\(w\)

niet nul is een het beschouwde punt.

Ik denk dat alle soorten bewerkingen mogen zolang ze maar voldoen aan de rekenregels van limieten. (met de daarbij horende voorwaarden ivm continuïteit enz. natuurlijk.)

[EvilBro]

\(dy=\lim_{h \to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.\lim_{h \to 0}h\)

Dit is onzin. De limiet van h naar nul van h is immers nul. Dit zou betekenen dat dy = 0. Dat is niet wat je wil.

Neem nu twee functies v en w:

\(dv=\lim_{h \to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}.\lim_{h \to 0}h\)

en

\(dw=\lim_{h \to 0}\frac{w(x+h)-w(x)}{h}.\lim_{h \to 0}h\)

Dan is bijvoorbeeld dv/dw gelijk aan:

\(\frac{dv}{dw}=\frac{v'}{w'}\)

Hier deel je dus door nul. Dat mag al helemaal niet.

[Flisk]

dy is toch gelijk aan 0? Het is niet voor niets infinitesimaal klein.

Je gaat dy toch geen reële waarde verschillend van 0 geven?

dy op zich heeft naar mijn mening niet zoveel betekenis, enkel wanneer je dy vergelijkt met bijvoorbeeld dx, krijg je iets betekenisvol.

Los volgende limiet eens op:

\(\frac{\lim_{x \to 0}2x}{\lim_{x \to 0}x}\)

Volgens jouw redenering mag dit helemaal niet, volgens de mijne krijg je 2 als uitkomst.

Limieten hebben net als reden om zo'n soort randgevallen oplosbaar te maken.

Zit ik er nu zover naast?

Als dat zo is wacht ik ongeduldig op een verheldering.

Probeer ook op te letten met het woordje 'onzin'. Ikzelf heb een olifantenhuid, dus ik vind het niet erg dat je mijn bijdrage aan dit topic afschildert als onzin. Probeer dan liever aan te tonen waarom het onzin is, dat is constructief i.p.v. destructief .

[JorisL]

Wat je doet is een intuitief beeld vormen van wat je wilt begrijpen.

Je kan dit wiskundig heel mooi en rigoreus uitwerken aan de hand van zogenaamde differentiaalvormen.

Het moeilijke is dat je dan op een (naar mijn mening dan) erg hoog niveau van abstractie zit.

Het mooiste van die aanpak is dat je coordinaatonafhankelijk werkt. Je kan de calculus zoals we die kennen algemeen afleiden voor heel verschillende ruimtes.

Los volgende limiet eens op:

\(\frac{\lim_{x \to 0}2x}{\lim_{x \to 0}x}\)

Daar mag je de rekenregel om de limiet naar buiten te halen niet zomaar op loslaten.

Dan zou je iets als

\(\frac{\lim_{x \to 0}2x}{\lim_{x \to 0}x}=\lim_{h\to 0}\frac{\lim_{x \to h}2x}{\lim_{x \to h}x}\)

moeten doen. Zoals je het daar nu hebt heb je een onbepaalde uitdrukking waar je verder geen trucjes die bij limieten horen mag toepassen.

Verder is in je uitleg over het invoeren van de limieten je dx exact gelijk aan 0.

Maar een infinitesimaal getal is niet 0. Het ligt arbitrair dicht bij nul maar is niet 0.

[Bartjes]

Ik heb al in berichtje #2 een link geplaatst waarin staat hoe je differentialen (en infinitesimalen!) rigoureus kunt invoeren, maar is er ook iemand die dat leest?

[EvilBro]

dy is toch gelijk aan 0?

Nee, dat is het niet. Als dy gelijk was aan nul dan zou je dy mogen vervangen door nul. Dat is niet zo.

Het is niet voor niets infinitesimaal klein.

"infinitesimaal" is niet het zelfde als "nul".

dy op zich heeft naar mijn mening niet zoveel betekenis, enkel wanneer je dy vergelijkt met bijvoorbeeld dx, krijg je iets betekenisvol.

Hier heb je gelijk. Een losse dy is eigenlijk een dy/dt (waarbij t een hulpvariabele is). Dit is waar dit topic ook over gaat: Dat het niet netjes is om met losse dy's te werken.

Los volgende limiet eens op:

\(\frac{\lim_{x \to 0}2x}{\lim_{x \to 0}x}\)

Dat kan niet. Hier staat nul gedeeld door nul. Dit is betekenisloos.

Volgens jouw redenering mag dit helemaal niet, volgens de mijne krijg je 2 als uitkomst.

Jouw uitkomst is echter onjuist. Wat jij denkt dat er staat, maar waaraan hetgeen dat jij schrijft niet gelijk is, is:

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{x}\)

Daar is de oplossing 2 van.

Probeer ook op te letten met het woordje 'onzin'.

Wat je schreef is onzin. Dat kun je verbloemen of niet. Dat verandert echter niks. Het is geen kwalificatie van jou, enkel van wat er stond. En als ik het ooit had moeten nakijken kwam daar een grote rode streep doorheen (met daarnaast het woordje 'onzin' ).

Probeer dan liever aan te tonen waarom het onzin is, dat is constructief i.p.v. destructief .

Dat heb ik al gedaan. De limiet (van h met h gaat naar nul) heeft de waarde nul en daar mag je niet door delen en het is niet gelijk aan dy.

Het probleem is denk ik dat jij een beeld hebt van limieten als iets wat beweegt naar een bepaald punt. Als dit het geval is: er zit geen beweging in limieten. Als een limiet bestaat, is het een specifieke waarde.

Ik heb al in berichtje #2 een link geplaatst waarin staat hoe je differentialen (en infinitesimalen!) rigoureus kunt invoeren, maar is er ook iemand die dat leest?

Ik heb het gezien, maar ook aangegeven dat dat niet de manier is waarop ze gebruikt worden. Zie bericht #4.