Integralen

[schaakspeler]

We hebben gisteren een taak over integralen gekregen, helaas staat er een oefening in, die niet oplosbaar is met de geziene leerstof. Daarom stel ik deze hier even. De vraag is:

Bereken de onbepaalde integraal:

S(2^x+1/3^x)dx

Iemand een idee hoe ik hier het best aan begin? Je kunt uiteraard de breuk wegwerken: S(2^x+13^-x)dx, maar kan je dan ook dit doen: 3^-x.S(2^x+1)dx?

Alvast bedankt

[Typhoner]

best eerst de machten herschrijven naar hetzelfde grondtal

hint: a^x = e^{x ln a}, is dat wel bekend?

maar kan je dan ook dit doen: 3^-x.S(2^x+1)dx?

kan je zomaar variabelen voor het integraalteken zetten?

[schaakspeler]

Het was een vraag, dus het zou best kunnen dat dat niet mogelijk is.

∫(e^{(x+1)ln2-xln3})dx is wat ik nu heb, hoe ga ik nu best verder?

[Flisk]

Dit kan je nog vereenvoudigen, Herinner je de rekenregels:

\(e^{a+b}=e^a*e^b\)

\(e^{ln(a)}=a\)

Je mag constante termen buiten het integraalteken plaatsen (dus alles zonder x, weet je waarom?),

variabelen mag niet zomaar.

Daarna kan je met een eenvoudige substitutie de integraal oplossen.

Ken je de substitutieregel?

[schaakspeler]

Dit kan je nog vereenvoudigen, Herinner je de rekenregels:

\(e^{a+b}=e^a*e^b\)

\(e^{ln(a)}=a\)

Je mag constante termen buiten het integraalteken plaatsen (dus alles zonder x, weet je waarom?),

variabelen mag niet zomaar.

Daarna kan je met een eenvoudige substitutie de integraal oplossen.

Ken je de substitutieregel?

\(e^{a-b}=e^a/e^b\)

ik heb jusit de omgekeerde bewerking gedaan (zie vorige post). Ik wist inderdaad dat constante termen buiten de integraal geplaatst mogen worden, maar van variabelen wist ik het niet.

\(e^{ln(a)}=a\)

er staat nog een x voor (

\(e^{xln(a)}\)

), kan ik dit dan zo wel toepassen?

[Flisk]

Je hebt dat inderdaad gedaan en dat is goed, maar je hebt er een constante term vergeten uithalen. Begin eens terug van het begin:

\(2^{x+1}=2^x*2^1\)

Zie je wat ik bedoel?

Op je laatste vraag: als er een x in de macht staat mag je dit inderdaad niet zomaar doen.

Wat je dan wel mag doen:

\(e^{xln(a)}=e^{ln(a)^x}=a^x\)

Maar dat wist je al uit Typhoner zijn post, en dat moet je nu niet doen want dan werk je terug.

Dus begin eens opnieuw, haal die constante term eruit en pas dan toe wat je al gedaan hebt.

[schaakspeler]

Ok, dus nu heb ik dit: 2∫(e^xln2-xln3)dx

[Flisk]

Ken je de substitutieregel?

Dat terzijde:

Goed op weg! Bijna aan het antwoord, probeer nog één keer te vereenvoudigen, je kan de het integrandum schrijven als:

\(e^{ax}\)

Waarbij a een constante is (neem de x dus 'samen').

[schaakspeler]

2∫(e^x(ln2-ln3))dx

[Flisk]

Nu substitueren zodat je

\(cte\int e^{u}du\)

krijgt, die heeft een vrij makkelijke primitieve.

cte stelt een constante voor.

[schaakspeler]

Dit snap ik niet ik moet dus naar 2∫(e^x)dx gaan, maar hoe werk ik dan ^(ln2-ln3) weg?

[Flisk]

Daarom dat ik vroeg of je de substitutieregel al gezien had.

Je had niet geantwoord dus ik dacht van wel. Met de substitutieregel kan je constante termen makkelijk wegwerken.

Staat die in de cursus?

[schaakspeler]

Waarschijnlijk dat we die wel al zullen gezien hebben een paar jaar geleden ofzo

Werkt deze niet zo:

4x²+2x=2x(2x+1)?

[Flisk]

Nee, als je in het middelbaar zit, krijg je die regel pas te zien in het laatste jaar normaal gezien.

Het is niet hetzelfde als een substitutie in een stelsel etc.

Als je die niet gezien hebt, moet er in je lijst van primitieven wel een primitieve staan van

\(e^{ax}\)

of van

\(a^x\)

ofzo.

Neem de lijst erbij en kijk of je die terugvindt.

[Th.B]

Je kunt de integraal schrijven als

2 . S [ (2/3)^x ] dx, met die opmerking van Flisk uit post #6

Als je dan de primitieve van a^x weet, is deze integraal erg makkelijk.