[natuurkunde] Invloed van massa op valversnelling en valsnelheid

[tvsteek97]

Hallo,

Ik heb 2 vragen over de invloed van massa op de valsnelheid en op de valversnelling van een knikker wanneer je het laat vallen (niet in een luchtledige ruimte).

Heeft de massa invloed op de valsnelheid van de knikker?

Ik dacht van wel, omdat bij een kleinere massa maar wel met dezelfde vorm en grootte de lichtere knikker meer wordt afgeremd door de luchtweerstand dan een zwaardere knikker die dezelfde vorm en grootte heeft. De zwaardere knikker zou dan uiteindelijk een hogere constante snelheid krijgen.

Heeft de massa invloed op de versnelling van de knikker?

Hoe kun je dit oplossen? Je kunt toch niet zeggen F=m*a, bij dezelfde zwaartekracht is m groter bij een kleine versnelling of m kleiner bij een grotere versnelling. Want F is niet gelijk voor beide knikkers.

Alvast bedankt

[Flisk]

Dus met luchtweerstand?

De versnelling en de snelheid van de zwaardere knikker zullen beide groter zijn, als ze beide dezelfde vorm hebben.

De luchtsnelheid zorgt voor een extra tegenwerkende kracht evenredig met snelheid kwadraat. Deze kracht is onafhankelijk van de massa, enkel van de vorm en snelheid. Daarom zal deze kracht een minder grote invloed hebben op de grotere massa.

zie:

http://nl.wikipedia..../Luchtweerstand

I.v.m. je laatste vraag, hoe je dat precies doet, stel x(t) is de positie van de knikker i.f.v. de tijd:

\(F_{tot}=F_{zwaarte}-F_{lucht} \iff m.x''(t)=mg-kx'(t)^2\)

\(\iff x''(t)=g-\frac{k}{m}x'(t)^2 \iff x''(t)+\frac{k}{m}x'(t)^2=g\)

Wat dus een niet lineaire differentiaalvergelijking is. Hieruit kan je een uitdrukking vinden voor x(t) in functie van t en de constanten, stel daarbij ook de beginvoorwaarden x(0)=0 en x'(0)=0, en daarna kan je daaruit een uitdrukking van snelheid/versnelling vinden i.f.v. de tijd door af te leiden.

Zoals je merkt is dit niet al te eenvoudig, daarom stellen ze meestal de luchtweerstand evenredig met de snelheid i.p.v. snelheid kwadraat, dan krijg je een veel simpelere differentiaalvergelijking. Dat is echter fout.

[tvsteek97]

Bedankt voor de hulp!

[tvsteek97]

Dus met luchtweerstand?

De versnelling en de snelheid van de zwaardere knikker zullen beide groter zijn, als ze beide dezelfde vorm hebben.

De luchtsnelheid zorgt voor een extra tegenwerkende kracht evenredig met snelheid kwadraat. Deze kracht is onafhankelijk van de massa, enkel van de vorm en snelheid. Daarom zal deze kracht een minder grote invloed hebben op de grotere massa.

zie:

http://nl.wikipedia..../Luchtweerstand

I.v.m. je laatste vraag, hoe je dat precies doet, stel x(t) is de positie van de knikker i.f.v. de tijd:

\(F_{tot}=F_{zwaarte}-F_{lucht} \iff m.x''(t)=mg-kx'(t)^2\)

\(\iff x''(t)=g-\frac{k}{m}x'(t)^2 \iff x''(t)+\frac{k}{m}x'(t)^2=g\)

Wat dus een niet lineaire differentiaalvergelijking is. Hieruit kan je een uitdrukking vinden voor x(t) in functie van t en de constanten, stel daarbij ook de beginvoorwaarden x(0)=0 en x'(0)=0, en daarna kan je daaruit een uitdrukking van snelheid/versnelling vinden i.f.v. de tijd door af te leiden.

Zoals je merkt is dit niet al te eenvoudig, daarom stellen ze meestal de luchtweerstand evenredig met de snelheid i.p.v. snelheid kwadraat, dan krijg je een veel simpelere differentiaalvergelijking. Dat is echter fout.

Dat laatste wat u uitlegde was inderdaad lastig, ik denk dat ik het antwoord ook mag redeneren.

Vindt u deze redenering kloppen?

Heeft de massa invloed op de valsnelheid van de knikker?

Ja, massa heeft invloed op de valsnelheid van het hoedje. Het hoedje ondervindt luchtweerstand, die hangt af van de luchtdichteid, de stroomlijn, de frontaal oppervlakte en de snelheid van het hoedje. Een zwaarder hoedje en een lichter hoedje met dezelfde afmetingen vallen niet met dezelfde snelheid, omdat het lichtere hoedje een kleinere massa heeft. Het lichtere hoedje wordt het meest afgeremd door de luchtweerstand, en zal een kleinere valsnelheid hebben.

Heeft de massa invloed op de versnelling van de knikker?

Ja, de massa heeft invloed op de versnelling. De versnelling van het hoedje is in het begin wel 9.81 m/s omdat er dan nog geen luchtweerstand is, maar deze neemt na verloop van tijd af omdat wanneer de snelheid toeneemt er steeds meer luchtweerstand is, totdat F_res 0 is en het hoedje met constante snelheid valt. Een lichter hoedje van de zelfde vorm heeft meer luchtweerstand en kan dus minder versnellen dan een zwaarder hoedje met dezelfde vorm.

[Anton_v_U]

Je redeneringen zijn prima en ze kloppen. Er is nog één punt dat aandacht behoeft en dat is het evenwicht van zwaartekracht en luchtweerstandskracht bij de eindsnelheid (de uiteindelijke valsnelheid). Dat kan met de differentiaalvergelijkingen (post van Flisk, versnelling x"(t) nul stellen) maar het kan ook zonder differentiaalvergelijkingen worden begrepen.

Bij de eindsnelheid is de zwaartekracht en de luchtweerstand in evenwicht.

Een vallend voorwerp in de lucht bereikt een eindsnelheid. Die eindsnelheid wordt bereikt als de resultante kracht nul is want dan versnelt het voorwerp niet langer door (F = m.a). De resultante kracht is de zwaartekracht (naar beneden) min de luchtwrijvingskracht (naar boven). Een voorwerp dat versnelt krijgt een steeds grotere luchtweerstandskracht. De versnelling gaat door totdat de luchtweerstandskracht gelijk is aan de zwaartekracht (de resultante is dan nul dus geen verdere versnelling).

Een zwaarder voorwerp met de zelfde vorm valt sneller (in de lucht)

Vergelijk twee voorwerpen met precies dezelfde vorm: Een licht voorwerp A met massa m_a en een zwaarder voorwerp B met massa m_b. Dus m_a<m_b. De zwaartekracht op A is dus kleiner dan de zwaartekracht op B want m_ag < m_bg.

Beide voorwerpen versnellen door totdat de luchtwrijving gelijk is aan de zwaartekracht op het voorwerp. De zwaartekracht op B is groter dan die op A. Dus versnelt B door totdat het een hogere luchtwrijving heeft dan A dus ook een hogere snelheid want ze hebben dezelfde vorm*.

Dus een zwaarder voorwerp valt sneller dan een lichter voorwerp met dezelfde vorm als er luchtweerstand is.

* luchtweerstand hangt af van vorm, frontaal oppervlak, de dichtheid van lucht en de snelheid (evenredig met v²). Aangezien vorm, frontaal oppervlak en de dichtheid van lucht voor A en B hetzelfde is, kan de luchtweerstand alleen verschillen als de snelheid anders is.

[Flisk]

Je uitleg ziet er inderdaad prima uit. Er staat wel één klein detail foutje in maar ik denk dat je het goed bedoelt, voor de zekerheid, beantwoord eens volgende vraag:

Een zware knikker en lichte knikker hebben op een bepaald moment dezelfde snelheid, is de luchtweerstand (in Newton) dan gelijk of verschillend?

Bekijk Anton_v_U zijn post eens en probeer daarna dit op te lossen:

Bereken de eindsnelheid van een knikker met massa 50 gram die valt (neem valversnelling g=10m/s^2) waarbij de kracht luchtweerstand (in Newton) gelijk is aan

\(0,025v^2\)

. (v is de snelheid)

Ik heb de differentiaalvergelijking eens opgelost (met behulp van computer), zie volgende grafieken.

De rode lijn stelt de zwaardere knikker voor en de blauwe lijn de lichtere knikker.

De plaats in functie van de tijd:

val weerstand x(t) 3423 keer bekeken

De snelheid in functie van de tijd:

val weerstand v(t) 3429 keer bekeken

De netto versnelling in functie van de tijd:

val weerstand a(t) 3432 keer bekeken

Er is vanuit gegaan dat de knikker dezelfde vorm en volume hebben en op het zelfde moment en gelijke hoogte werden losgelaten met beginsnelheid nul.

Je kan zien, zoals verwacht, dat de rode lijn altijd boven de blauwe ligt.

Op elk moment is de afstand afgelegd, ogenblikkelijke snelheid en ogenblikkelijke versnelling dus groter bij de zwaarste knikker. Behalve op het punt 0, daar zijn ze allemaal gelijk.

[EvilBro]

Ik heb de differentiaalvergelijking eens opgelost (met behulp van computer),

Computer... puh!

\(m \frac{d^2 x}{dt^2} = m g - k (\frac{dx}{dt})^2\)

\(m \frac{d v}{dt} = m g - k v^2 = (\sqrt{m g} - \sqrt{k} v)(\sqrt{m g} + \sqrt{k} v)\)

\(\frac{m}{(\sqrt{m g} - \sqrt{k} v)(\sqrt{m g} + \sqrt{k} v)} \frac{d v}{dt} = 1\)

\(\frac{m}{2 \sqrt{m g}} (\frac{1}{\sqrt{m g} - \sqrt{k} v} + \frac{1}{\sqrt{m g} + \sqrt{k} v}) \frac{d v}{dt} = 1\)

\(-\frac{m}{2 \sqrt{m g k}} \ln(\sqrt{m g} - \sqrt{k} v) + \frac{m}{2 \sqrt{m g k}} \ln(\sqrt{m g} + \sqrt{k} v) = t + c\)

\(\frac{m}{2 \sqrt{m g k}} \ln(\frac{\sqrt{m g} + \sqrt{k} v}{\sqrt{m g} - \sqrt{k} v}) = t + c\)

\(\ln(\frac{\sqrt{m g} + \sqrt{k} v}{\sqrt{m g} - \sqrt{k} v}) = \frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)\)

\(\frac{\sqrt{m g} + \sqrt{k} v}{\sqrt{m g} - \sqrt{k} v} = e^{\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)}\)

\(\sqrt{m g} + \sqrt{k} v = (\sqrt{m g} - \sqrt{k} v) e^{\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)}\)

\(\sqrt{k} v (1 + e^{\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)}) = \sqrt{m g} (e^{\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)} - 1)\)

\(v = \sqrt{\frac{m g}{k}} \frac{e^{\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)} - 1}{e^{\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)} + 1} = \sqrt{\frac{m g}{k}} \tanh(\frac{2 \sqrt{m g k}}{m} (t + c)) \)

dus:

\(v(t) = \sqrt{\frac{m g}{k}} \tanh(2 \sqrt{\frac{g k}{m}} (t + c))\)

en dus:

\(x(t) = x_0 + \frac{\sqrt{\frac{m g}{k}}}{2 \sqrt{\frac{g k}{m}}} \ln(\cosh(2 \sqrt{\frac{g k}{m}} (t + c)))\)

\(x(t) = x_0 + \frac{m}{2 k} \ln(\cosh(2 \sqrt{\frac{g k}{m}} (t + c)))\)

[tvsteek97]

Je uitleg ziet er inderdaad prima uit. Er staat wel één klein detail foutje in maar ik denk dat je het goed bedoelt, voor de zekerheid, beantwoord eens volgende vraag:

Een zware knikker en lichte knikker hebben op een bepaald moment dezelfde snelheid, is de luchtweerstand (in Newton) dan gelijk of verschillend?

Verschillende luchtweerstand denk ik?

Bedank voor de uitleg! Ik begrijp het geloof ik.

[Flisk]

Verschillende luchtweerstand denk ik?

Nee dit is fout, je antwoord in post 4 klopt dus niet volledig. De luchtweerstand (een kracht) hangt enkel af van de vorm en de snelheid niet van het gewicht.

De reden waarom de lichtere knikker toch trager valt is omdat een kracht meer invloed heeft op de beweging van een kleinere massa, dan op een grotere.

Bekijk het zo:

Als je tegen iets zwaar duwt, zal het minder snel afremmen dan wanneer je tegen iets licht duwt met dezelfde kracht.

[ReinW]

Flisk schreef op 22 Jan 2014 - 15:08:

De versnelling en de snelheid van de zwaardere knikker zullen beide groter zijn, als ze beide dezelfde vorm hebben.

De luchtsnelheid zorgt voor een extra tegenwerkende kracht evenredig met snelheid kwadraat. Deze kracht is onafhankelijk van de massa, enkel van de vorm en snelheid. Daarom zal deze kracht een minder grote invloed hebben op de grotere massa.

 

 
De eerste zin is onjuist: de versnelling van een zware en een lichte bol is precies aan elkaar gelijk, namelijk de versnelling van de zwaartekracht g. Dat is het leuke van de zwaartekracht, de versnelling is altijd constant. De snelheid is niet constant, die varieert met de hoogte. Hoe hoger het afwerppunt, hoe hoger de eindsnelheid op de grond.

De tweede en derde zin zijn juist: de lucht zorgt voor een tegenwerkende kracht, de weerstandskracht F_w. Deze is onafhankelijk van de massa.

Dus de vierde zin is hiermee volledig in tegenspraak: F_w zou een minder grote invloed hebben op een grotere massa? Nogmaals: F_w is onafhankelijk van de massa. Want waar staat dan de massa in de formule voor de F_w?

 

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Deze discussie speelt zich niet meer af op huiswerkniveau en wordt dus hier voortgezet