Congruentie 'relatie'

[Exception]

Hallo,

Uit wikipedia:

Twee gehele getallen a en b heten congruent modulo een positief geheel getal n als ze een veelvoud van n van elkaar verschillen. Men kan ook zeggen dat de beide getallen bij deling door n dezelfde rest hebben.

De eerste voorwaarde is niet echt duidelijk voor me, en de betekenis van congruent modulo evenmin.

Ik lees:

\(a\)

en

\(b\)

zijn "compatibiliteitsresten" van

\(n\)

.

M.a.w. de rest van

\(\frac{a}{n}\)

is compatibel met de rest van

\(\frac{b}{n}\)

.

De voorbeelden:

\(a\equiv b\ (\hbox{mod}\ n)\)

.

\(2\equiv 5\ (\hbox{mod}\ 3), \)

want 5-2=3 is een veelvoud van 3.

\(-7\equiv 9\ (\hbox{mod}\ 8), \)

want -7-9=-16 is een veelvoud van 8.

Ik weet niet waarom de aftelling om de eerste voorwaarde (als ze een veelvoud van n van elkaar verschillen) te bewijzen!

[Safe]

Bedenk eerst eens dat als je met uren werkt je geen enkel probleem hebt, dus 13 uur is 1 uur want 13-1=12 en dan zeggen we modulo 12 dat dat 0 is. Gevolg: 13 uur is 1 uur

Maw je bent gewend bij tijden te werken modulo 12.

Ik hoop niet dat dit (nog) meer verwarring geeft ...

[Flisk]

Definitie is: a is congruent met b modulo m, als je na deling dezelfde rest overhoud.

Als je deelt trek je altijd een geheel aantal keer de deler van je getal, totdat hetgeen wat overschiet (de rest dus) kleiner is dan je deler en groter dan nul.

Het eerste kan je ook zo lezen:

a is congruent met b modulo m

\(\iff \exists k,l \in \mathbb{Z}: a+km=b+lm\)

Dit is equivalent met de tweede definitie. Immers, neem a=q_am+r_a en b=q_bm+r_b(q en r zijn quotiënt en rest).

Dan krijg je:

\(r_a+q_am+km=r_b+q_bm+lm \iff r_a+(q_a+k)m=r_b+(q_b+l)m \iff r_a \equiv r_b\)

Wat dus die tweede definitie is (met de resten).

Merk op dat

\(q_a,k,q_b,l\)

allemaal geheel zijn. Als je dus rechterlid en linkerlid deelt door m wordt het quotient q_a+k en q_b+l, en de resten respectievelijk r_aen r_b. Nu bij modulo rekenen kijken we niet naar het quotient maar naar de rest! Dus we gooien die q_a+k en q_b+l weg en kijken ofdat r_a= r_b.

Als dit zo is noemen we a congruent met b modulo m.

Voorbeeld:

5+10*3=2+30*3 (mod 3)<=> 2+1*3+10*3=2+30*3 (mod 3)<=> 2+11*3=2+30*3 (mod 3) <=> 2=2 (mod 3).

Ga maar eens na, dan zie je het beter in.