1e orde differentiaalvergelijking met een kwadraat

[reinoudb]

Mijn vraag is kort;

Hoe kan ik een DV als deze oplossen?

y'=y^2 + 12

[Flisk]

Dit is een Riccati vergelijking en als je over 1 particuliere oplossing beschikt, kan je deze omvormen tot een lineaire vergelijking. Bekijk deze link voor de oplossingsmethode (neem Q(x) gelijk aan 0).

[reinoudb]

Dat is niet echt basis wiskunde..

[Th.B]

dy / dt = y² + 12

dy / (y²+ 12) = dt

Enzovoorts...

Niet te moeilijk doen. Er komt geen x voor in het rechterlid en dus kun je gewoon variabelen scheiden. Waarom zo'n algemeen antwoord @Flisk? Lijkt me nogal onnodig.

[Flisk]

Dat is niet echt basis wiskunde..

Nee inderdaad. Differentiaalvergelijkingen zijn universitair niveau.

Vanwaar de vraag?

Als je zo'n opdracht in het middelbaar krijgt scheelt er wel iets.

Waarom zo'n algemeen antwoord @Flisk? Lijkt me nogal onnodig.

Er werd gevraagd hoe je zo'n soort vergelijkingen oplost. Ik dacht dat het gewoon een voorbeeldje was en niet persé een specifiek probleem. Dus leek een algemene oplossingsmethode me wel gepast.

[reinoudb]

Ik ken wel differentiaal vergelijkingen van m'n HBO studie, maar die waren lineair.

Ik ben bezig een natuurkundig model op te stellen. iets met een aandrijving, luchtweerstand (hier zit v^2 in). En zo kom ik dus op een soortgelijke vergelijking als hierboven.

[Th.B]

Weet je wel hoe je variabelen moet scheiden? Gewoon alles met t aan de ene kant en alles met y aan de andere kant.

[reinoudb]

ja dan wordt het dus

1/(y^2 + 12)dy = dt

Dit mag je toch 'gewoon" integreren aan beide kanten? Dan heb je toch geen Riccati vergelijkingen nodig?

[reinoudb]

Moet zijn

1/(y^2+12) dy = - dt

[Safe]

En herken je iets ...

[reinoudb]

Ja denk dat dit gaat lukken. zodra ik het antwoord heb zal ik het hier wel plaatsen.

[Th.B]

Gewoon dt rechts, niet -dt (als ik tenminste kijk naar de oorspronkelijke opgave).

Linkerlid integreren (herken de standaardvorm, zoals Safe zei), en dan de y weer naar 1 kant halen.

[reinoudb]

ik kom uit op

1/sqrt(12) arctan (1/sqrt(12)y) = t + C

hier komt dan na omwerken uit:

y = sqrt(12) tan (sqrt(12)( t+C))

Klopt dit?

[Flisk]

Dit is correct.

Je kan ook altijd checken met wolfram.

Vrij goeie site hiervoor.

[reinoudb]

Bedankt voor het op weg helpen allemaal.

Heb nu een vergelijking waarbij het scheiden van variabelen lastiger is:

mv'=F-cv^2

Is scheiden van variabelen hier mogelijk of is er een andere techniek om deze vergelijking op te lossen?