Oneindigheden in kwantummechanica

[Math-E-Mad-X]

Oneindigheden worden weg genormaliseerd, want men kan er wiskundig niets mee aanvangen etc…

Dit is volstrekte onzin. Het feit dat men renormalisatie toepast wil juist zeggen dat we er wiskundig wel iets mee kunnen aanvangen. De renormalisatie is nou juist precies die wiskundige procedure die we nodig hadden om de natuur correct te beschrijven. Het probleem met renormalisatie is niet de wiskunde, maar eerder wat we ons daar intuïtief bij voor moeten stellen.

Wiskunde is per slot van rekening een aantal onbewezen axioma’s en afleidingen, die eigenlijk weinig inhoud hebben.

Lekker handig argument. Op die manier kun je alles wel wegwuiven.

Stel je voor, ik leen 1000 euro van je, en betaal je een maand later 400 euro terug. Nog een maand later kom je naar me toe met de boodschap "je bent me nog 1000-400 = 600 euro schuldig". Waarop ik dan antwoord: "nee hoor, want die berekening is gebaseerd op onbewezen axioma's".

[cock]

Opmerking moderator

Deze topic is afgesplitst van deze topic.

Math-E-Mad-X schreef:

Dit is volstrekte onzin. Het feit dat men renormalisatie toepast wil juist zeggen dat we er wiskundig wel iets mee kunnen aanvangen. De renormalisatie is nou juist precies die wiskundige procedure die we nodig hadden om de natuur correct te beschrijven.

Renormalisering (soms ook renormering genoemd) is “Een wiskundige techniek die is ontworpen om uit de voeten te kunnen met de oneindigheden in kwantumtheorieën.” (1) Zo worden bepaalde veldenergiën oneindig groot als men steeds dichter bij een “naakt” deeltje komt (en men het als een puntdeeltje beschouwt), b.v. de zwaartekracht bij een proton. Een naakt deeltje is een deeltje dat uit de context van omringende deeltjes gedacht wordt. Nu weten natuurkundigen (filosofen wel) geen blijf met oneindigheden, men blijkt oneindigheden niet als normaal te beschouwen, sommige wiskundigen zijn er zelfs gek van geworden. Govert Shilling schrijft hierover “van het begrip oneindigheid krijgen de meeste mensen hoofdpijn. En de meeste natuurkundigen ook.”(2) Gelukkig voor de mensheid kwam de oplossing van de wiskunde, Schilling vervolgt: “De natuurkundigen Richard Feynman, Julian Schwinger en Sin-Atura Tomaga ontdekten eind jaren tachtig een soort wiskundige truuk om die oneindigheden te omzeilen”. Het komt er in het kort op neer dat men tegengestelde ambiante oneindigheden postuleert, en ze tegen mekaar laat wegvallen.

Maar waarom, vraag ik me af, mag men niet met oneindigheden denken. Stel dat elk individueel proton (in de context van een waterstofatoom) streeft naar oneindig kleine plaats in de ruimte, en elke elektronsfeer streeft naar de tegenstelling (een oneindig grote plaats). Als ze mekaar dan als Aktie en reactie beïnvloeden, en die actie en reactie zijn niet volmaakt synchroon, dan blijft er een kleine tijdsmarge over, precies de afmeting van een waterstofatoom. Een waterstofatoom wordt dan een gekristaliseerde stabiele ruimte, tussen actie (oneindig klein) en reactie (oneindig groot). Dit soort redeneringen past echter niet in de traditionele kwantummechanica, en moet dus van t’Hooft de vuilbak in, ook al zou men ze perfect kunnen inpassen in de waarnemingen.

(1) Stephen Hawking en Leonard Mlodinov, “Het grote ontwerp”, Uitg. Bert Bakker, p. 205.

(2) Shilling Govert, Higgs Het elementair abc van een elementair deeltje, Uitg. Fontaine p. 75.

[Bartjes]

Er zijn in de wiskunde inmiddels vele manieren bekend om met oneindigheden te rekenen. Wie even op Wikipedia kijkt, kan zich daar gemakkelijk van overtuigen.

[cock]

Dag Bartjes,

U schrijft:

Er zijn in de wiskunde inmiddels vele manieren bekend om met oneindigheden te rekenen

Het is niet zozeer de wiskunde, maar wel de natuurkunde die het moeilijk heeft met oneindige resultaten. Wie even de problematiek van de normalisatie bekijkt, kan zich daar gemakkelijk van overtuigen

[Bartjes]

@ cock

Het optreden van oneindige resultaten in de natuurkunde die dan weer moeten worden "weggepoetst" om eindige meetbare uitkomsten te krijgen is inderdaad vreemd. De vraag is dan: komt dat doordat de theorie nog gebreken vertoont, of zit de wereld inderdaad zo raar in elkaar?

Ik zou het niet weten...

[Flisk]

Ik neem aan dat jullie wijzen op zaken zoals 1+2+3+4+...=-1/12

Wordt inderdaad in kwantummechanica gebruikt. Ikzelf ken die theorie niet voldoende om precies te zeggen hoe dat in elkaar zit. Ik vind wel dat je moet opletten, misschien is er inderdaad een gebrek in de theorie, maar voor het zelfde geld niet. Zoiets kan je pas beweren als je die volledig snapt.

Neem nu de fourieranalyse, of eender welke toegepaste wiskunde waarin uitvoerig gebruik wordt gemaakt van complexe getallen. Op zich heeft een complex getal in de natuurkunde geen betekenis. Maar het wiskundig raamwerk is wel nuttig! Zo stelt exp(ix) een sinus en een cosinus voor. Die notatie kan dus gebruikt worden om heel wat dingen korter op te schrijven. Maar dit betekent niet dat er in de natuurkunde zoiets bestaat als een complexe afstand, tijd, enz...

[Th.B]

Ik sluit me aan bij Flisk. Natuurkundigen kunnen goed gebruik maken van abstracte wiskundige objecten om hiermee hun theorie kloppend te krijgen, zonder dat ze zich iets (als in: een fysische betekenis) voor kunnen stellen bij het object (bijvoorbeeld i) in kwestie. Een ander mooi voorbeeld is het gebruik van complexe getallen bij ingewikkelde elektronische circuits, zoals LRC. Dan kan men met een 'wiskundige truc' (het gebruik van complexe getallen dus) het oplossen van een pittige tweede-orde differentiaalvergelijking omzeilen. Niks mis mee dus.

Zo'n extremer voorbeeld zoals Flisk noemt, is zelfs wiskundig gezien helemaal niet intuïtief, maar toch kan er (blijkbaar, ik heb er geen verstand van) een redenering aan vast geplakt worden die in ieder geval wiskundig gezien consistent is. Natuurkundigen gebruiken het concept 'oneindig' bij de vleet: kijk maar naar de definitie van (gravitationele of elektrostatische) potentiele energie in de klassieke mechanica.

De vraag die Bartjes stelt in post #17 is natuurlijk niet van belang voor een wetenschapper, want dat is iets puur filosofisch. Theoretisch natuurkundigen als Feynman streven ernaar om iets wiskundig consistent te maken, en bovendien niet in strijd met waarnemingen. Als dat betekent dat een deeltje eigenlijk een golf is (althans, dat is wat het model voorschrijft als beste kijk op de dingen) of dat de som van alle natuurlijke getallen -1/12 is, dan kun je je afvragen of dat daadwerkelijk zo is of niet, maar dan ben je geen wetenschap meer aan het bedrijven. Je kunt boeken vol schrijven over de filosofische implicaties van kwantummechanica, maar zuiver wetenschappelijk gezien is dat allemaal onbelangrijk.

[Bartjes]

@ Th.B

Er zijn nog genoeg wetenschappers die hopen iets over de aard van de wereld te weten te komen. In een zuiver instrumentalistische visie op wetenschap is daar geen plaats meer voor. Nu kunnen er twee dingen aan de hand zijn:

A. De zuiver instrumentalistische visie op wetenschap deugt niet.

of

B. De zuiver instrumentalistische visie op wetenschap deugt wel, en wetenschappers die wat over de aard van de wereld willen leren hebben in de wetenschap niets te zoeken.

Ik houd het op het eerste.

[Th.B]

En wat brengt jou tot die visie dan? Is er volgens jou een eenduidig antwoord op die vraag? Ik denk het niet, hoe je iets interpreteert is iets waar je vrij in bent.

[WillemB]

@ cock

Het optreden van oneindige resultaten in de natuurkunde die dan weer moeten worden "weggepoetst" om eindige meetbare uitkomsten te krijgen is inderdaad vreemd. De vraag is dan: komt dat doordat de theorie nog gebreken vertoont, of zit de wereld inderdaad zo raar in elkaar?

Ik zou het niet weten...

Oneidigheid bestaat aleen bij de gratie van ons stelsel...

Alleen in onze ruimte tijd stelsel hebben we oneindig klein en oneindig groot, volgens mij zijn oneindig klein en oneindig groot, twee uitgangen van ons ruimte tijd stelsel, daarna kom je in een ander stelsel.

Voorbeeld daarvan vind ik de oerknal, op een gegeven moment onstaat ruimte-tijd, daaarvoor sigulariteit.

Oftewel, daar is geen ruimte tijd meer, dus zonder afmetingen bestaat er ook geen klein of groot, ook oneindig bestaat daar niet meer. Dus er is ook geen tijdsduur tot het moment van het onstaan van ruimte -tijd.

Vreemd dat men toch blijft beweren dat de oerknal heel klein begon, dat spreekt zichzelf tegen.

Ander mooi voorbeeld vind ik altijd die planeet waar wezens op wonen die maar twee dimensies kennen,

het platte vlak. Daar moet ook de lokale Einstein er aan te pas komen om uit te leggen waarom je steeds in rondjes kan lopen op een plat vlak, terwijl je toch echt echt recht uit liep.. Ook die wezens komen dan met een sluitende theorie, waar ze mee kunnen leven. Zo ook met ons, we zullen buiten onze kaders moeten blijven treden.

Daarom vond ik het ook nooit verbazend dat deeltjes op meerder plekken tegelijk konden zijn, ze kwamen

tenslotte uit een ander stelsel zonder tijd of afmetingen.

[Bartjes]

@ Th.B

Helaas zijn wetenschapsfilosofische discussies op het Wetenschapsforum niet langer toegestaan. Dat gaat dus gegarandeerd een slotje opleveren.

Maar wanneer je wilt weten hoe ik er over denk, zou je Poppers kritiek van het instrumentalisme kunnen lezen.

[cock]

Ander mooi voorbeeld vind ik altijd die planeet waar wezens op wonen die maar twee dimensies kennen,het platte vlak.

Daar is Platland weer, de vleesgeworden illustratie van de wiskundige abstractie. Platland bestaat niet, net als een nuldimensionaal puntdeeltje. Voorbij de Placklengte (die we ons eigenlijk moeten voorstellen als een diameter van een bolletje), ligt objectief gezien nog een heel heelal. Want klein en groot bestaat inderdaad niet als objectief gegeven, zoals Willem B. zo elegant beschrijft in post 22, (jammer genoeg met een illustratie die mij ergert), er bestaat enkel groter dan en kleiner dan een norm (in dit geval ons waarnemingsvermogen), dat waarschijnlijk slechts een klein deel is van een doorlopend continuüm. Dat wil niet zeggen dat een ruimtebit (een kleinste ruimtedeel in het waarneembaar heelal), niet bestaat, maar het is enkel geldig binnen het door ons (waarneembaar) heelal.

Vanuit deze optiek kan men de Big Bang beschouwen als de geboorte van ons heelal, waar die dimensies (afmetingen) ontstonden, die wij (mensen) kunnen waarnemen, aangezien wij eruit zijn ontstaan. De kleinere afmetingen kunnen wij niet waarnemen, tenzij onrechtstreeks, maar dit geeft de wetenschappers nog niet het recht om ze weg te “normaliseren”. Dat we “kleiner dan de in ons heelal geldige norm” niet kunnen waarnemen, wil nog niet zeggen dat het niet bestaat. Het is enkel onmogelijk om het waar te nemen tenzij ,onrechtstreeks, omdat het onmogelijk is om dingen te meten, met een meter die kleinere afmetingen kan meten dan de Plancklengte. Deze kleine dimensies zouden inderdaad de opgerolde dimensies kunnen zijn van de snaartheorie, maar dan wel driedimensionaal, enkel onmeetbaar klein (of groot).

Als er een wiskundige is die dit soort ideeën kan uitwerken, zal ik hem “oneindig” dankbaar zijn, want ik heb inderdaad weinig verstand van wiskunde.

[Bartjes]

Zoiets?

http://www-3.unipv.it/webphilos_lab/cou ... node3.html

[cock]

dat waarschijnlijk slechts een klein deel is van een doorlopend continuüm.

Heb ik geschreven, maar dit kan leiden tot misverstanden. Het gaat inderdaad om infinitisimalen, als het om klein zijn gaat, maar niet in een doorlopend continuüm (zoals de allusie op faseverschuiving in mijn tekst suggereert). We moeten ons inderdaad een continuüm voorstellen dat in discrete stappen gaat (dat zal natuurlijk formeel niet kloppen, maar ik hoop dat je begrijpt wat ik bedoel). Anders, indien het niet om discrete stappen gaat, zouden min of meer stabiele lichamen als atomen geen tijd kunnen bestaan ( tenzij alles meegroeit of krimpt natuurlijk). Ze (de atomen) zouden geen vaste verhoudingen kunnen aannemen, denk ik.

De tekst waarnaar u (Bartjes) verwees, gaat wel voor het grootste deel boven mijn petje. Maar ik heb eruit menen te begrijpen dat hier in de tekst met een continuüm gerekend wordt, dat niet in discrete stappen gaat, tenzij men met "of an other order" een discrete stap bedoelt. Dan kan het kloppen, maar kunnen ze het niet een beetje eenvoudiger uitdrukken voor een wiskundige leek als ik? Kan de rode draad niet vertaald worden in mijn moerstaal?

[Bartjes]

De idee is dat je een "oneindig rijk" continuüm kunt hebben, zodanig dat wanneer je daar door een 'infinitesimale microscoop" naar kijkt er details zichtbaar worden die je anders niet ziet. Zo kan je zien wat er op infinitesimale schaal gebeurt. Die microscoop heeft dan een oneindige vergrotingsfactor. Dankzij de moderne wiskundige theorieën van het oneindige kan dit formeel keurig worden gedefinieerd en uitgewerkt.