Integraal m.b.v. partieel integreren

[Bigglet]

Beste,
 
Zit momenteel vast bij een examenvraagstuk:
 
De waarde van S(ln(x)/x) van x=1 tot x=4
 
Partieel integreren: S f(x)*g'(x) dx = f(x)*g(x) - S f'(x)*g(x) dx
 
S ln (x) * 1/x dx = ln(x) * ln(x) - S 1/x * ln(x)
2 S ln(x) * 1/x dx = ln²(x)
S ln(x) * 1/x dx = ln²(x)/2
 
[ln²(x)/2] van 1 tot 4 --> [ln²(4)/2] - [ln²(1)/2] geeft ln²(4^(1/2)) - ln²(1^(1/2)) wordt vervolgens ln²(2) - ln²(1) = ln²(2/1) = ln²(2) ?
 
Het antwoord hoort echter 2ln²(2) te zijn en hier kom ik niet op... Graag wat advies of een corrigerende tik gezocht!

Bvd,
 
Bigglet
 
 
 

[Drieske]

Waarom hoort dat het antwoord te zijn? Je berekening is gewoon correct . Eindantwoord: ln²(4)/2 of dus ln²(2).

[Bigglet]

De keuzes zijn:
A: ln(4)
B: 1/2 ln(4)
C: 2 ln²(4)
D: 2 ln²(2)
...
 
Antwoordformulier geeft D aan
 
ln²(4)/2 = 0,9609606
ln²(2) = 0,480453
 
Dus er moet toch echt iets fout zijn gegaan

[Safe]

Wat betekent ln^2(4) ...

[Drieske]

Ja, ik zie mijn (en jouw) fout al... Het antwoord zit in de opm. van Safe. ln²(4)/2 is juist, maar dat is niet hetzelfde als ln²(2) .

[Bigglet]

ln²(4)/2 is toch hetzelfde als ln²(4^(1/2)) ? Nee, blijkbaar niet, want dan zou het hetzelfde zijn, maar wat is dan de regel?

[Safe]

We kijken alleen naar de teller!
Wat betekent a^2 ...
Dus wat betekent ln^2(4) ...

[Drieske]

ln²(4)/2 is toch hetzelfde als ln²(4^(1/2)) ? Nee, 

 
Dat is dus effectief niet hetzelfde. Pas eens toe zoals Safe het zegt. Dan zie je het wel. Misschien nog duidelijker is het schrijven als ((ln(4))²)/2

[Bigglet]

(ln(4) * ln(4))/2, maar wat schiet ik daar mee op?
 
Dit wordt dan 1/2 ln(4) * 1/2 ln(4) = ln(2) * ln(2) is nog altijd ln²(2)? Wat zie ik over het hoofd?

[Drieske]

Je hebt maar 1 keer 1/2 staan... Hoe kan dat dan over twee ln(4)'s verdeeld worden?

[Bigglet]

ln(4) * ln(4) = ln(2²) * ln(2²) = ln²(2²) = 2ln²(2), maar de noemer deelt deze weer door 2, en belanden we weer op ln²(2)? Ergh...

[Drieske]

Ik heb niet echt het gevoel dat je er erg hard over nadenkt nu hoor... Doe eens het omgekeerde. Je hebt dus inderdaad (1/2)*(ln(2²)*ln(2²)). Wat is nu ln(2²)? Wat is dan (ln(2²)*ln(2²))? Wat is dan tenslotte (1/2)*(ln(2²)*ln(2²))?
 
Dan nu weer het omgekeerde: je hebt (1/2)*(ln(4))² = (1/2)*(ln(4)*ln(4)). Kan je nu die 1/2 aan beide factoren ln(4) koppelen? Abstracter: (1/2)*(a*b). Is dat hetzelfde als (a/2)*(b/2)?

[Bigglet]

Nu heb ik hem, maar hoe moet men nu weten dat eerst ln(2²) als 2ln(2) moet worden geschreven, en niet zoals ik deed de ln²(2²) met vervolgens 2ln²(2)?
 
Uiteindelijk is het dus (ln(2²)*ln(2²))/2 = (2ln(2)*2ln(2))/2 = (4ln²(2))/2 = 2ln²(2).
Waarschijnlijk gaat er iets mis bij de basiskennis bij mij..
 
MVDWOA: Machtsverheffen; Vermenigvuldigen; Delen; Wortels; Optellen; Aftrekken

Ik zie ln(2²) niet echt als machtsverheffen, maar als omschrijving van de formule, hier gelden dus ook de volgordes? Als ik er 2ln(2) van maak i.p.v. de vermenigvuldiging van ln(2²) * ln(2²) tot ln²(2²) en als laatst 2ln²(2), wat vervolgens nog door de 2 moet worden gedeeld werkt het niet, maar hier loop ik dus wel vaker de mist in...

[Drieske]

Mja, daarom zei ik: schrijf ln²(4) eens als (ln(4))². Dan zou je het wel moeten zien hoe het zit hè... (ln(4))² = (ln(2²))² = (2*ln(2))² = 4*(ln(2))² = 4*ln²(2).

[Bigglet]

Goed, in elk geval bedankt, ik zal er wat meer op oefenen!