Schrödinger vergelijking en kwantumveldentheorie

[descheleschilder]

Mijn vraag is de volgende: Is het mogelijk uit de (relativistische) kwantumvelden theorie de (niet relativistische) Schrödinger vergelijking af te leiden? In een atoom bijvoorbeeld wordt de elektrische potentiaal van de kern klassiek gegeven, maar kun je dit veld ook verkrijgen door van de kwantumelektrodynamica uit te gaan, die het veld opgebouwd ziet uit virtuele fotonen die op hun beurt weer een golffunctie bezitten die een klassiek karakter hebben. Die fotonen dragen het elektromagnetisch veld dat je wilt beschrijven al in zich (ook al zijn ze virtueel en liggen ze niet op hun massaschil). Wat ik probeer te zeggen, kom je niet in een cirkelredenering als je het klassiek veld probeert te beschrijven met pakketjes energie en moment (die in een foton onafhankelijk van elkaar zijn) die E en A ( die je juist elektrodynamisch probeert te beschrijven) al in zich dragen?

[sensor]

Het EM veld met eventuele virtuele fotonen is een gegeven en hiervoor zijn verschillende beschrijvingen wel of niet relativistisch. Los daarvan kun je met de Schrödinger vergelijking de kans berekenen die aangeeft het deeltje ergens aan te treffen. Deze vergelijking is als axioma niet af te leiden uit andere formules en het is dus onmogelijk om in een cirkelredenering terecht te komen. 
Hier nog een aardige inleiding : 
http://www.nikhef.nl/~jo/quantum/qm/website/hovo2004/index.html

[descheleschilder]

Een axioma is geen axioma meer als hij afgeleid kan worden uit een dieper liggende theorie. Mijn vraag was daarom of je de niet relativistische Schrödinger vergelijking kunt afleiden uit de wél relativistische kwantumvelden theorie.

[sensor]

De dirac vergelijking geeft een relativistische formule voor de  Schrödinger vergelijking van het waterstof atoom :http://nl.wikipedia.org/wiki/Dirac-vergelijking. Het was de eerste theorie die de relativiteit volledig in het kader van de kwantummechanica beschreef.
 
Wat kunnen we dan nog toevoegen met de kwantumvelden theorie?

[descheleschilder]

De Dirac vergelijking geldt voor vrije fermionen. Er is een twee vrije fermionen, die vervolgens een e.m. wisselwerking aangaan, en vervolgens weer als vrije fermionen  tevoorschijn komen. In een waterstofatoom is dit duidelijk niet het geval. De kwantumvelden theorie heeft betrekking op vrije deeltjes die kort met elkaar reageren om vervolgens weer als vrije deeltjes verder te gaan. Dit is zeker niet wat er gebeurd in een waterstofatoom. De fermionen in het waterstofatoom zijn  nooit vrije deeltjes.

[sensor]

Behalve kwantumveld beschrijving mis ik nog de klassieke beschrijving voor het elektron rond een kern. Bohr kon al in 1913 de spectraallijnen verklaren van het waterstofatoom.
De formules hebben geen weet van het type deeltje en kunnen dus niet de beperkende factor zijn. De keuze voor het waterstofatoom moeten we vooral vanuit historisch perspectief zien en geeft ons het voordeel dat we kunnen voortborduren op de literatuur.
 
Klassieke benadering door Bohr
Volgens Bohr wordt de kracht F=ma op een elektron rond een waterstofkern bepaald door de lading van de kern (Coulomb). Bohr komt dan op de gedachte dat de baanimpuls van het elektron alleen discrete waarden kan aannemen en verklaart met deze simpele uitgangspunten het energiespectrum.
 
Schrödinger vergelijking

\( H(q, p) = |p|^{2}+V(r) = E\)

 
Dirac vergelijking

\([p_{0}I+\sum\alpha_{j}p_{j}+\alpha mc]\psi = 0 \)

 
QFT 
tbd

[descheleschilder]

Eerst een kleine opmerking over de Schrödinger vergelijking die jij bedoelt. Wat jij opschrijft is de Hamiltoniaan van het systeem, waarbij p² (althans absolute waarde hiervan) p²/2m is. Daarna laat je de hamiltoniaan op de golffunctie een golffunctie phi (die van tevoren nog onbekend is), waarna de vorm van phi (indien mogelijk) bekend wordt.
Dan de Dirac vergelijking. Zijn de a_j's in jouw Dirac vergelijking hetzelfde als de gamma matrices, de veel gebruikte operatoren in de quantumelektrodynamica?
Belangrijker is dat er nog steeds geen antwoord op mijn vraag is: Kun je uitgaande van de quantumelektrodynamica de Schrödinger uit de hoge hoed tevoorschijn laten komen?
De meeste nieuwe theorieën dragen, als de nieuwe plausibel is, de oude theorieën in zich, dus dat geldt waarschijnlijk ook voor de kwantumvelden theorie. Mijn mening is dat het in principe mogelijk is om uit een kwantumveldentheorie een klassieke (niet relativistiche) golffunctie, maar dat dat in de praktijk deze berekeningen veel te complex ziijn

[317070]

Belangrijker is dat er nog steeds geen antwoord op mijn vraag is: Kun je uitgaande van de quantumelektrodynamica de Schrödinger uit de hoge hoed tevoorschijn laten komen?

Yep, Feynmann heeft precies dat gedaan:
http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Research/ADerivationOfSchrodingersEquation/FeynmansDerivation.pdf
http://iopscience.iop.org/1742-6596/99/1/012019/pdf/1742-6596_99_1_012019.pdf

[descheleschilder]

Ik zie nu in dat ik de vraag verkeerd gesteld heb. De Schrödinger vergelijking komt inderdaad tevoorschijn als je het pad-integraal formalisme van Feynmann toepast. Maar wat ik werkelijk zou willen weten of je met behulp van de Q.E.D. de energietoestanden van een niet relativistisch gebonden systeem zoals bijvoorbeeld het waterstof atoom kunt vinden. In de Q.E.D. is er namelijk sprake van een vrij deeltje dat een reactie aangaat om vervolgens weer vrij verder te gaan. wordt er één foton (een eerste orde proces) uitgewisseld dan zijn de uitgaande deeltjes al goed te beschrijven, maar hogere orde uitwisselingen dragen een heel klein gedeelte daaraan bij, en convergeren naar een bepaalde waarde (een n-de orde proces draagt ongeveer 1/137² aan het proces bij).

[descheleschilder]

Ik bedoelde dat een n-de orde proces 1/137ⁿ bijdraagt tot het resultaat van de interactie tussen twee deeltjes, dus een eerste orde benadering levert al een goed resultaat voor bijvoorbeeld electron-positron botsingen, Bhabba-verstrooiing, paar-productie en Compton-verstrooing.