Oneindig veel banen tegelijk?

[Bartjes]

Vaak lees ik dat een elementair deeltje alle mogelijke banen om van A naar B te komen tegelijk neemt, en dat het waarschijnlijke resultaat dan wordt gevonden als een soort van som of integraal van al die banen. Wat mij vooral verbaast is het gegeven dat het hier om overaftelbaar oneindig veel mogelijke banen gaat. Hoe kun je die samenvoegen en toch een eenduidig en eindig resultaat krijgen. Is daar ergens een eenvoudige uitleg over te vinden?

[317070]

Hoe kun je die samenvoegen en toch een eenduidig en eindig resultaat krijgen.

Dat is niet bijzonderder dan bijvoorbeeld integreren over een interval (dat ook overaftelbaar veel elementen bevat)? Uiteindelijk komt het daar ook steeds op neer, integreren over een distributiefunctie.

[Bartjes]

Dat is niet bijzonderder dan bijvoorbeeld integreren over een interval (dat ook overaftelbaar veel elementen bevat)? Uiteindelijk komt het daar ook steeds op neer, integreren over een distributiefunctie.

 
Inderdaad kun je zo overaftelbaar oneindig veel functiewaarden "optellen" voor een zeker interval aan argumenten. Probleem is dan echter de eenduidigheid van het resultaat. Stel je hebt de mogelijke banen b genummerd met getallen uit het interval [0,1]. Dus b(0) is een baan, b(1/3) is een baan, b(1) is een baan, etc. Dan kun je zo waarschijnlijk wel een soort van integraal uitrekenen. Maar ik kan de banen ook op een andere manier nummeren zodat b(f(x)) de banen zijn, waarin f een bijectie tussen [0,1] en [0,1] is. Zo worden dan ook alle banen samengenomen. Maar ik kan f slim zodanig kiezen dat de uitkomst van de integraal verandert, ten minste dat kan ik mij voorstellen.
 
Verder is het nog de vraag of het aantal banen van A naar B wel de kardinaliteit van het continuüm heeft. Dat moet ook nog uitgezocht worden. 

[317070]

De bijdrage van ieder pad is het derde postulaat: 

The contribution of a path is proportional to . while <i>S</i> is the action given by the time integral of the Lagrangian along the path.

http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation
 
Dat het een continuüm is, is vrij triviaal, aangezien de toestandsruimte continu is.

[Bartjes]

De bijdrage van ieder pad is het derde postulaat: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

 
Helaas gaat dat mijn pet te boven. Wat ik met niet-eenduidigheid bedoel geeft onderstaande plaatje aan:
 

niet-eenduidigheid 1191 keer bekeken

 
De rode en groene lijn van de "baan-waarden" zullen bij integreren over de indices van 0 tot 1 een verschillende uitkomst geven, maar in beide gevallen zijn precies alle banen meegenomen. Enkel zijn de banen anders genummerd.

 

Dat het een continuüm is, is vrij triviaal, aangezien de toestandsruimte continu is.

Ik vermoed dat de kardinaliteit van het aantal banen van A naar B groter is dan de kardinaliteit van R. Je hebt dan zoiets:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_two
 
In dat geval volstaan de getallen uit het interval [0,1] niet om al die banen te nummeren. Het integreren om al die waarden te "sommeren" loopt dan spaak. 

 

[Math-E-Mad-X]

@Bartjes: wat jij doet is een coordinaten transformatie. Je moet daarom altijd een factor in je integraal meenemen die compenseert voor de transformatie.
 
Iets vergelijkbaars gebeurd wanneer je bijvoorbeeld arbeid uitrekent door een kracht over een afstand te integreren. De integraal zal een andere uitkomst geven wanneer je afstand niet in centimeters maar in inches neemt. In dat geval zal het niet zoveel uitmaken omdat je dan ook gewoon de eenheid van arbeid aan kunt passen, maar in het geval dat de integraal een eenheidsloze grootheid moet opleveren zul je dus een extra factor in de integraal moeten meenemen die meetransformeert met je coordinaten.

[Math-E-Mad-X]

 
Ik vermoed dat de kardinaliteit van het aantal banen van A naar B groter is dan de kardinaliteit van R. Je hebt dan zoiets:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_two
 

 
Nee, want een baan is altijd een continue functie

[Bartjes]

@Bartjes: wat jij doet is een coordinaten transformatie. Je moet daarom altijd een factor in je integraal meenemen die compenseert voor de transformatie.
 
Iets vergelijkbaars gebeurd wanneer je bijvoorbeeld arbeid uitrekent door een kracht over een afstand te integreren. De integraal zal een andere uitkomst geven wanneer je afstand niet in centimeters maar in inches neemt. In dat geval zal het niet zoveel uitmaken omdat je dan ook gewoon de eenheid van arbeid aan kunt passen, maar in het geval dat de integraal een eenheidsloze grootheid moet opleveren zul je dus een extra factor in de integraal moeten meenemen die meetransformeert met je coordinaten.

 
Dat begrijp ik. Probleem is dan wel wat de juiste indicering van de mogelijke banen is, zodra je dat weet is het probleem van de niet-eenduidigheid opgelost. Gebruik je dan een andere dan de juiste (of voorgeschreven) indicering dan moet je daarvoor corrigeren. Maar ik zie nog geen logische standaard-manier om al die mogelijke banen van A naar B te indiceren...

 
Nee, want een baan is altijd een continue functie

 
Dat zouden er inderdaad minder kunnen zijn zodat je toch weer op de kardinaliteit van R uitkomt. Heb je daar een bron voor?

[317070]

Dat zouden er inderdaad minder kunnen zijn zodat je toch weer op de kardinaliteit van R uitkomt. Heb je daar een bron voor?

Continuě functies zijn Beth 1: https://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_one

[Bartjes]

Continuě functies zijn Beth 1: https://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number#Beth_one

 
Oei!   Niet verder gekeken dan mijn neus lang is. Dat deel van mijn probleem is dus opgelost: alle banen van A naar B kunnen met de getallen van het interval [0,1]  genummerd worden. 
 
Rest nog de vraag:
 

Probleem is dan wel wat de juiste indicering van de mogelijke banen is, zodra je dat weet is het probleem van de niet-eenduidigheid opgelost. Gebruik je dan een andere dan de juiste (of voorgeschreven) indicering dan moet je daarvoor corrigeren. Maar ik zie nog geen logische standaard-manier om al die mogelijke banen van A naar B te indiceren...

 
Qua kardinaliteit moet het mogelijk zijn maar hoe doe je dat?

[Bartjes]

Idee: is er misschien iets met Fourierreeksen mogelijk, waarbij je de baan van A naar B als één periode ziet?

[Bartjes]

Laten we het zo eenvoudig mogelijk maken:
 
Neem een orthonormaal driedimensionaal assenstelsel. Punt O = (0,0,0) en punt P = (1,0,0). Laat B de verzameling zijn van alle continue lijnen die O met P verbinden. Dan zijn het interval [0,1] en de verzameling B gelijkmachtig. Er bestaat dan een afbeelding A van [0,1] op B zodanig dat A een bijectie is. Hoe kunnen we al de banen uit B dan tot een reële waarde sommeren?
 
Je zou de onderstaande integraal kunnen bekijken:
 

\( \int_0^1 f(A(g(x)) \, \mbox{d}x \)

 
Voor handig gekozen functies f: B -> C (complexe getallen) en g: [0,1] -> [0,1] is die integraal wellicht uit te rekenen. Maar hoe bepaal je die f en g, en leveren alle bruikbare f en g wel een zelfde uitkomst van de integraal op?
 
Is dit zo'n beetje wat er gebeurt? En hoe werkt dat dan?

[Math-E-Mad-X]

Het is een tijd geleden voor me, dus ik weet het eerlijk gezegd niet zo goed meer. Echter, wat ik nog wel weet is dat dit stof is die ik  tijdens de master Theoretische Fysica kreeg, bij het vak Quantum Velden Theorie.  Oftewel: dit is zware materie. Ik betwijfel dus of je hier echt een bevredigend antwoord op kunt krijgen. Hopelijk is hier nog iemand die dit nog wel allemaal goed weet en die ook goed kan uitleggen.
 
Sterker nog: als ik het mij goed herinner bestaat hier eigenlijk geen echt goede wiskundige theorie voor. Dit is typisch een geval van 'wiskunde uitgevonden door natuurkundigen'. Het werkt, zolang je het binnen de juiste context gebruikt, omdat je er mee kunt rekenen, maar echt harde wiskundige axioma's ontbreken. 

[317070]

Je zou de onderstaande integraal kunnen bekijken:
 

\( \int_0^1 f(A(g(x)) \, \mbox{d}x \)

Jamaar, dat is een Riemann-integraal. Integreren over paden doe je met een functionaal-integraal: http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_integral
Je kunt het wat zien als een Riemann-integraal van een oneindig-dimensionale volume.
 
Ik ben er al in contact mee gekomen via kernel-gebaseerde methodes in machine learning (die een beetje gelijkaardig werken als QFD), maar heb me nooit echt vragen gesteld bij de wiskundige axioma's erachter. Je drijft gewoon het aantal dimensies waarover je integreert naar oneindig, het is een limiet zoals een andere. De integraal ziet er dus zoiets uit:
 

\(\lim_{n \to \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\ldots \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} L(x(t),v(t), t)\,\mathrm{d}t\right)dx_0 \, \ldots \, dx_n\)

 
De truc om ze ook effectief te berekenen is dat (in nette handboek-gevallen) iedere van de oneindig integralen eigenlijk een convolutie van iets met de vorige term is. Een convolutie in het fourier-domein is een vermenigvuldiging, en in het fourier-domein kunnen al die vermenigvuldigingen dus samengenomen worden in 1 exponent. Dan kun je wat vereenvoudigen en vervolgens terugkeren naar het niet-Fourier (fase) domein waar je dan die oneindig veel convoluties kwijt bent en hopelijk iets netjes uitkomt (bijvoorbeeld de Schrödinger-vergelijking).
 
Anders moet je dit voorbeeld eens narekenen: http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation#Free_particle

[Bartjes]

Wellicht is de situatie vergelijkbaar met het gebruik van Dirac's deltafunctie in de natuurkunde en techniek voordat er een rigoureuze theorie van distributies bekend was?