Buitenste kleur van de regenboog

[jkien]

Kun je beredeneren dat rood de buitenste kleur is van de primaire regenboog, en de binnenste kleur van de secundaire regenboog?

 


(foto uit Wikipedia)

[Jan van de Velde]

ja.
Voor die primaire boog: 
 
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=44
 
Rondgaand in een druppel komt rood er iets steiler uit dan blauw. (wordt minder gebroken)
 
Uit hoger hangende druppels zie je dus het rode licht in je oog vallen, uit de lagere druppels het blauw. 
 
de blauwe stralen uit de hogere druppels (zie stippellijn als voorbeeld) gaan dus over je hoofd heen:
 

regenboog 3997 keer bekeken

 
het licht van een secundaire boog valt onderin een druppel, gaat dus ook andersom rond en komt er dus ook omgekeerd uit qua steilheid. 

[Michel Uphoff]

Walter Lewin heeft een naar mijn mening uitstekende les over regenbogen, waarin ondermeer (rond 21 minuten) de wisseling van kleuren in de secundaire boog (a.g.v. een extra reflectie in de waterdruppel) wordt besproken. De kern is, dat bij de secundaire boog het licht in de waterdruppel de tegengestelde weg door de druppel aflegt, zodat de kleurvolgorde wordt omgekeerd.

 

Primaire boog: rood op 42,4 en blauw op 40,7 graden

Secundaire boog: rood op 50,4 en blauw op 53,5 graden

 

secondary-bow 3998 keer bekeken

Bron: nasa.

 

[jkien]

Lewin geeft inderdaad een uitstekende uitleg. Hij geeft het verband tussen de deflectie en invalshoek, δ(i) = 180° + 2 i - 4 r(i) voor de primaire regenboog, maar helaas geen formule voor het minimum van δ(i). Ik heb een grafiek gemaakt van de kijkrichting φ = 180° - δ als functie van i, voor de primaire boog en hogere bogen.
 

Regenboog2 3996 keer bekeken

 
Op de x-as staat de excentriciteit van het punt van inval op de druppel, ε = sin i.
Op de y-as van figuur 2 staat (φ modulo 360°), de kijkrichting naar de druppel. A is de kijkrichting naar het antisolaire punt, Z die naar de zon.
De curves 1, 2, 3, etc. representeren de primaire, secundaire en tertiaire regenboog. De rode curve geldt voor rood licht, de blauwe voor blauw licht.
 
 

De kern is, dat bij de secundaire boog het licht in de waterdruppel de tegengestelde weg door de druppel aflegt, zodat de kleurvolgorde wordt omgekeerd.

 
Is er een definitie van 'tegengestelde weg' die meteen toepasbaar is bij hogere orde regenbogen? Ja, de tegengestelde weg correspondeert in figuur 2 met een negatieve φ_max. Dus regenbogen 1, 4, 5 zijn rood aan de Z-kant; en 2, 3, 6, 7 rood aan de A-kant.

[jkien]

N.a.v. het verhaal van Lewin vraag ik me af of de regenboog 's zomers groter of kleiner is dan 's winters, omdat de brekingsindex afhangt van de temperatuur. Om het effect te berekenen is een formule voor de diameter van de regenboog nodig. Die formule ontbreekt in het verhaal van Lewin. In het kort:

\(\delta = 2(i-r) + k(\pi-2r)\) 
waarbij k het aantal reflecties van de lichtstraal in de druppel is; k=1 is de primaire regenboog, k=2 de secundaire regenboog, etc. k is de "orde" van de regenboog.

\(\frac{d\delta}{di} = 0 \rightarrow \cos^2 i_0 = \frac {n^2 - 1}{(k+1)^2 - 1}\rightarrow i_0 = \arcsin q\)
waarbij ik q gedefinieerd heb als  \( q=\sqrt \frac {(k+1)^2-n^2}{(k+1)^2-1}\)

\({Snellius}\rightarrow r_0 = \arcsin \frac{\sin i_0}{n} = \arcsin \frac{q}{n}\)

\(\delta_0= 2(i_0-r_0) + k(\pi-2r_0)\rightarrow\)
\(\rightarrow \delta_0 = 2 \arcsin q -2(k+1)\arcsin \frac{q}{n} + k \pi\)

\(\phi_0=\pi-\delta_0\)

Dit is de formule voor de halve diameter van de regenboog, φ₀. Voor k=1,2,3,.. geeft deze formule de in figuur 2 van het vorige bericht vermelde waarden φ₀ = 42.4°, -50.4°, -137.5°,... (n=1.331).

Raindrop 3995 keer bekeken

Symbolen i, r, δ (deflectie), φ (kijkrichting) zoals bij Lewin.

De brekingsindex van rood licht (633 nm) is 1.332 bij 20°C, en 1.333 bij 0°C.(1)  De formule voor de halve diameter geeft φ₀ = 42.2° bij 20°C, en 42.1° bij 0°C. Een warme regenboog is dus iets groter dan een koude regenboog. De oranje (590 nm) cirkel van 20°C bevindt zich op de plaats van de rode cirkel van 0°C (wegens gelijke brekingsindex). Regen zal niet zo vaak warmer zijn dan 20°C.

Een groter effect is misschien waarneembaar in het druppelgordijn van een spuitende kokendhete geiser zoals in Yellowstone.(2) De blauwe cirkel van 80°C bevindt zich op de plaats van de rode cirkel van 0°C (weer vanwege gelijke brekingsindex).
 .

Zou zure regen een effect hebben op de diameter van de regenboog?

[klazon]

Zou er op de plek van die waterdruppels een significant verschil in temperatuur zijn tussen zomer en winter?

[jkien]

Welke hoogste regentemperatuur heb je in gedachten? Iemand zou een jaar lang de regenwatertemperatuur in een opvangbakje kunnen meten. Ik vermoed dat de hoogste regentemperatuur in Nederland dan ongeveer 20°C is (zomer), en de laagste 0°C (winter).

[klazon]

Ik bedoel de temperatuur van de waterdruppels op de hoogte waar ze de regenboog vormen. Hoe hoog zal dat zijn? 1km? 5km? Ik heb eigenlijk geen idee.
De temperatuur als de regen op de grond valt is niet maatgevend, die kan tijdens de val veranderen. Ik weet dat alle regen als sneeuw begint. Daarom vermoed ik dat de temperatuur op "booghoogte" net iets boven 0 graden C ligt. En ik vermoed ook dat er op die hoogte weinig verschil zal zijn tussen zomer en winter.
Maar dat weet ik niet zeker. Vandaar mijn vraag: is er verschil?

[jkien]

Op zoek naar de warmste druppels dacht ik zelf in bericht  #5 vooral aan de druppels op de zichtlijn naar de voet van de regenboog, die bevinden zich op horizonhoogte. Hun temperatuur is gelijk aan de regenwatertemperatuur in een opvangbakje.
 
Maar als je naar de top kijkt: druppels op de zichtlijn naar de top van de regenboog kunnen zich op alle hoogtes tot aan de wolkbasis bevinden, dus met verschillende temperaturen. Misschien leidt dat tot vagere, uitgesmeerde kleurbanden.

[Herman66]

Waarom is een regenboog eigenlijk zo mooi rond?

[Michel Uphoff]

Die hoek (bv. 42 gaden) geldt in alle richtingen, dus niet alleen 42 graden boven de horizon (als de Zon aan de andere zijde net opkomt of ondergaat), maar ook links, rechts en schuin. Dat komt door de bolvorm van zo'n regendruppel. Het gevolg is een cirkelboog. Het mooist is dat te zien bij de halo rond de Maan op een mistige avond, dat is ook een soort regenboog, maar nu volledig zichtbaar.
 

naamloos 3990 keer bekeken

 

Rainbow-explanation1-400x283 3990 keer bekeken

 
Zie de uitleg van Walter Lewin, die vertelt het beter dan ik zou kunnen.

[317070]

1km? 5km? Ik heb eigenlijk geen idee.

Ik heb het ooit eens geëxperimenteerd met een luifel en dus tot welke afstand je de (onderkant van de) regenboog kon zien, en kwam tot de conclusie dat de regenboog eigenlijk maar op een goede 10m afstand was.
 
Het ding is uiteraard dat de lichtstralen vanuit een volledige kegel komen aan druppels. Dus waar wij een boog van rood licht zien, is het eigenlijk een kegel aan druppels die dat rood licht in de richting van je oog stuurt. Ik vraag me wel af of de belangrijkste bijdrage van de verre of van de dichte druppels zou komen.

[klazon]

... en kwam tot de conclusie dat de regenboog eigenlijk maar op een goede 10m afstand was.

Dat zou goed kunnen, als je zelf midden in de regenbui staat. Als ik de tuin sproei, dan zie ik ook een regenboog.
Maar vaak zie je een regenboog op kilometers afstand, en dan zal de top van de boog ook op kilometers hoogte staan.

[jkien]

Ik vraag me wel af of de belangrijkste bijdrage van de verre of van de dichte druppels zou komen.

Het gaat om de bijdrage aan de oppervlaktehelderheid van de regenboog (waarbij  oppervlak = ruimtehoek). Dan is de bijdrage van 1 m³ lucht (kubus) in de verte gelijk aan de bijdrage van 1 m³ lucht in de nabijheid, mits het er even hard regent. Bij een 2x zo grote afstand is de ontvangen lichthoeveelheid per druppel 4x zo klein, en de ruimtehoek van het luchtpakket is 4x zo klein, dus de oppervlaktehelderheid is gelijk.

[317070]

Maar vaak zie je een regenboog op kilometers afstand, en dan zal de top van de boog ook op kilometers hoogte staan.

Jamaar, hoe weet jij dat die regenboog op kilometers afstand staat? Jij denkt dat die op kilometers afstand staat, omdat beide ogen de regenboog op dezelfde hoek van 42 graden zien. De parallax is dus altijd oneindig. Maar dat zegt helemaal niets over op welke afstand hij ook effectief gevormd wordt! De regenboog op 10m afstand ziet er ook uit alsof hij kilometers verder staat. Het is maar door te experimenteren met een luifel dat duidelijk wordt hoe ver hij echt gevormd wordt.