differentiale vergelijking & cos functie

[Shadow]

ey,
 

vibwav 521 keer bekeken

Kan iemand uitleggen hoe die differentiale vergelijking is verbonden met de cos-functie?
Misschien staat de uitleg in deze pdf? Ik kan het niet vinden, maar het zou erin kunnen staan..

differential-equations

(1.34 MiB) 144 keer gedownload

 
edit:

solving 521 keer bekeken

Ik ben dus op zoek naar een hint / de wiskundige achtergrond om deze vergelijking op te lossen.
 
edit2:
Ik heb het denk ik. Volgens mij moet ik eerst Taylor reeksen begrijpen..

[EvilBro]

3.4.2

[aadkr]

3.1.(massa -veer systeem)

\(\frac{d^2 x}{dt^2}+\frac{k}{m} \cdot x=0\)

gebruik voor de oplossing van deze diff. vergelijking gewoon de sinus.
de massa voert een enkelvoudige vertikale harmonische trilling uit.
dit volgt uit de diff. vergelijking.
nu hadhet mij  logischer geleken als ze de diff.vergelijking 3.1. als volgt hadden opgeschreven:

\(\frac{d^2 y}{dt^2}+\frac{k}{m} \cdot y=0\)

want de massa m voert een vertikale harmonische trilling uit. dus in de y richting zogezegd.

[Anton_v_U]

Kijk eens naar de dv.
 
De versnelling is evenredig met de plaats met een negatieve evenredigheidsconstante. Dat betekent dat het object voortdurend in de richting van het nulpunt of evenwichtspunt versnelt en ook dat de versnelling afneemt naarmate je dichter bij het evenwichtspunt komt.
 
Kijk eens naar een sinusfunctie die de plaats als functie van de tijd voorstelt. De versnelling is de dubbele afgeleide en die is bij een sinusfunctie evenredig met min de sinus dus min de plaats en deze neemt af naarmate je dichter bij nul (het evenwichtspunt) komt.
 
Dat lijkt heel erg op elkaar, het is dus geen verrassing dat de oplossing van de dv een sinusfunctie is. (volgens mij is de sinusfunctie de enige reële functie met de eigenschap dat de dubbele afgeleide gelijk is aan een negatieve constante maal het origineel)
 
Nog even over de frequentie van een massa veersysteem:
De massa is traag dus zal de frequentie afnemen als de massa toeneemt. De veerconstante k bepaalt hoe sterk de veer terugtrekt. Grote k betekent een grotere kracht bij dezelfde uitwijking dus sneller terug bewegen en dus een grotere frequentie. Als je dan naar de dimensies kijkt en eist dat m^ak^-b een frequentie voorstelt, kom je op het wortelverband: a = b = 1/2. 

[aadkr]

de diff.vergelijking

\(\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m} \cdot y=0\)

wordt een homogeen -lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten genoemd.
als je die wilt oplossen, mag je gebruik maken van de volgende substitutie van euler
stel:

\(y=e^{\lambda \cdot t}\)

[Flisk]

Dit is een homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. Als je niet weet waarvoor deze term precies staat,vraag gerust verder en ik leg het wel uit.

Dit type vergelijkingen is vrij makkelijk oplosbaar. Je voert telkens de substitutie

\(x(t)=e^{at}\)

uit. Dan voer je alle afleidingen door m.b.v. de kettingregel. Daarna deel je

\(e^{at}\)

weg. Bij dit voorbeeld:

\(\frac{d^2 e^{at}}{dt^2}+\frac{k}{m} \cdot e^{at}=0 \iff a^2 e^{at}+\frac{k}{m}ae^{at}=0 \iff a^2 +\frac{k}{m}a=0\)

Wat een veeltermvergelijking is. Deze los je op met behulp van

\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

. Je krijgt dan

\(a=\frac{\pm\sqrt{-4\frac{k}{m}}}{2}=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}\)

De omgekeerde substitutie geeft dan:

\(x(t)=e^{\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}t}\)

Dan moet je de formule van Euler gebruiken en krijg je twee uitdrukkingen met elk een sinus en een cosinus:

\(x(t)=\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\pm i\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\)

Elke lineaire combinatie van een oplossing is weeral een oplossing bij dit type differentiaalvergelijkingen. Hieruit volgt dat de sinus en de cosinus (maal eventueel een constante) dus allebei oplossingen zijn.

Nu dit is wat kort uitgelegd, je zou best een boek/cursus met theorie raadplegen (of een document op internet zoeken). 

 

Volgens mij is de sinusfunctie de enige reële functie met de eigenschap dat de dubbele afgeleide gelijk is aan een negatieve constante maal het origineel.

Ook nog de cosinus uiteraard.

[aadkr]

Flisk , in die eerste formuleregel in je bericht staat een klein foutje.
zie je dat ook?

[Anton_v_U]

Ook nog de cosinus uiteraard

Een cosinus is ook een sinus.

[Flisk]

Flisk , in die eerste formuleregel in je bericht staat een klein foutje.
zie je dat ook?

Inderdaad:

 

\( a^2 e^{at}+\frac{k}{m}ae^{at}=0 \iff a^2 +\frac{k}{m}a=0\)

Moet dit zijn:

\( a^2 e^{at}+\frac{k}{m}e^{at}=0 \iff a^2 +\frac{k}{m}=0\)

Dan klopt de rest erna normaal gezien ook.