Kettingregel op YouTube - klopt dit?

[Bartjes]

Op internet vond ik een intuïtieve uitleg van de kettingregel voor samengestelde functies van meerdere variabelen:
 

 
Deze man gebruikt geen standaardformule maar grafen die de opbouw van de samengestelde functie beschrijven. Is deze benadering correct? Zijn er ook ergens bewijzen te vinden dat die aanpak klopt?

[317070]

Is deze benadering correct? Zijn er ook ergens bewijzen te vinden dat die aanpak klopt?

Euhm, dat is toch rechtstreeks het toepassen van de kettingregel, maar dan in een graaf om alle afgeleiden die nul zijn eruit te halen?

[Bartjes]

Oh - maar waar kan ik dan de kettingregel voor willekeurig ingewikkeld samengestelde functies van meerdere variabelen vinden? Met die grafen lijkt er geen grens aan de toegestane ingewikkeldheid te zijn...

[317070]

Oh - maar waar kan ik dan de kettingregel voor willekeurig ingewikkeld samengestelde functies van meerdere variabelen vinden? Met die grafen lijkt er geen grens aan de toegestane ingewikkeldheid te zijn...

http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#Higher_dimensions

[Bartjes]

Mogelijk zie ik iets over het hoofd, maar die Wikipedia-link gaat over betrekkelijk eenvoudige gevallen van slechts twee functies die netjes op elkaar passen.
 
Stel nu eens dat we dit hebben:
 
f(x,y,z) = g₁(  g₂( g₃(y,z) )  ,  g₄(z)  ,  g₅( g₆(x,z),y,x )  ,  g₇( g₈(g₉(y,z)) ),  x  )
 
 

[Emveedee]

Dan is volgens mij

\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial g_1}{\partial g_5}\left (\frac{\partial g_5}{\partial g_6}\frac{\partial g_6}{\partial x} + \frac{\partial g_5}{\partial x}\right ) + \frac{\partial g_1}{\partial x}\)

en

\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y} = \frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_3}\frac{\partial g_3}{\partial y} + \frac{\partial g_1}{\partial g_5}\frac{\partial g_5}{\partial y} + \frac{\partial g_1}{\partial g_7}\frac{\partial g_7}{\partial g_8}\frac{\partial g_8}{\partial g_9}\frac{\partial g_9}{\partial y}\)

 

\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}\)

is left as an excercise for the reader

[Bartjes]

Dank. Het gaat mij echter niet om de concrete oplossing van het gegeven voorbeeld maar om de vraag of de aanpak via grafen (uit de video) correct is, en zo ja waar ik het bewijs daarvan dan kan vinden.
 
Verder kan je gegeven oplossing voor df/dx niet juist zijn want ik zie g₂ daar niet in. Wanneer bijvoorbeeld y = 2x (wat niet is uitgesloten) zou dat wel moeten. In df/dy ontbreekt g₄, wat ook niet klopt (er zou immers z = 3y kunnen gelden).
 
Op internet vond ik nog dit:
 
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/ChainRule.aspx
 
https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/multichainrule/
 
http://math.stackexchange.com/questions/14600/chain-rule-using-tree-diagram-why-does-it-work
 
Mogelijk staat daar wat ik zoek...

[Bartjes]

Volgens de laatste link van het vorige berichtje loopt het formele bewijs via:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_matrix
 
Dat is weer een stapje verder.

[Emveedee]

Verder kan je gegeven oplossing voor df/dx niet juist zijn want ik zie g₂ daar niet in. Wanneer bijvoorbeeld y = 2x (wat niet is uitgesloten) zou dat wel moeten. In df/dy ontbreekt g₄, wat ook niet klopt (er zou immers z = 3y kunnen gelden).

Ik ging er vanuit dat omdat het een functie f(x,y,z) betreft, dat deze onafhankelijke variabelen zouden zijn. Als dat niet zo is dan moeten inderdaad die afgeleiden nog wel meegenomen worden. Zijn ze wel afhankelijk, kun je het immers ook schrijven als f(x,y,z)=f(x).
 
Het bewijs kan ik je helaas niet mee helpen. Ik heb het ooit wel gezien, maar als ik het me goed herinner is daar meer dan 1 college voor nodig geweest en dat heb ik niet helemaal onthouden :p

[Bartjes]

Het bewijs kan ik je helaas niet mee helpen. Ik heb het ooit wel gezien, maar als ik het me goed herinner is daar meer dan 1 college voor nodig geweest en dat heb ik niet helemaal onthouden

 
Was dat inderdaad met een graaf? Op Wikipedia staat wel wat, maar dat is mij niet algemeen genoeg.
 
Volgens deze link:
 
http://math.stackexchange.com/questions/14600/chain-rule-using-tree-diagram-why-does-it-work
 
kan het algemene geval met "incidence matrices" bewezen worden.

[Emveedee]

Dat durf ik niet meer te zeggen, het is jaren geleden dat ik dat bewijs gezien heb. Het trucje met een boompje tekenen om alle afhankelijkheden mee te nemen heb ik wel geleerd.
 
Mijn intuïtie zegt me dat je ook alle "permutaties van de afgeleiden" kunt nemen om eraan te komen:

\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} =\frac{\partial g_1}{\partial x} +\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_x}+\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_3}\frac{\partial g_3}{\partial x}+\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_3}\frac{\partial g_3}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\cdots \)

 
Uit heel veel termen komt echter 0 omdat deze immers onafhankelijk zijn, en met een graaf kun je makkelijk inzien welke termen dat zullen zijn.
 
Verder kan ik je niet helpen ben ik bang, bewijzen is niet bepaald mijn vakgebied.
 
Edit:

Ter verduidelijking, ik bedoel eigenlijk zoiets:

\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} =\frac{\partial f}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_x}+\frac{\partial f}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_3}\frac{\partial g_3}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial g_3}\frac{\partial g_3}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial x} + \cdots\)

 
In dit geval is duidelijk

\(\frac{\partial f}{\partial g_1} = 1\)

en

\(\frac{\partial f}{\partial g_i} = 0 \forall i \neq 1 \)

.

[D-Boss]

 Ik zou het zelf nog algemener aanpakken en meteen naar de definitie voor de totale afgeleide kijken. Stel je hebt een functie van R^n->R^m dan is de totale afgeleide gelijk aan de jacobi matrix van de transformatie. Dat kun je redelijk makkelijk bewijzen, en dan heb je ook een kettingregel. Stel f: R^n->R^m en g: R^m->R^p dan is de afgeleide van de compositie van f en g gelijk aan het product van de jacobi matrix van g met die van f. Als je dat in zijn algemeenheid bewijst kun je het toepassen op dit specifieke geval.

[Bartjes]

Mogelijk zie ik iets over het hoofd, maar die Wikipedia-link gaat over betrekkelijk eenvoudige gevallen van slechts twee functies die netjes op elkaar passen.
 
Stel nu eens dat we dit hebben:
 
f(x,y,z) = g₁(  g₂( g₃(y,z) )  ,  g₄(z)  ,  g₅( g₆(x,z),y,x )  ,  g₇( g₈(g₉(y,z)) ),  x  )

 
 

 Ik zou het zelf nog algemener aanpakken en meteen naar de definitie voor de totale afgeleide kijken. Stel je hebt een functie van R^n->R^m dan is de totale afgeleide gelijk aan de jacobi matrix van de transformatie. Dat kun je redelijk makkelijk bewijzen, en dan heb je ook een kettingregel. Stel f: R^n->R^m en g: R^m->R^p dan is de afgeleide van de compositie van f en g gelijk aan het product van de jacobi matrix van g met die van f. Als je dat in zijn algemeenheid bewijst kun je het toepassen op dit specifieke geval.

 
Pas die aanpak eens toe op mijn boven geciteerde geval?

[Flisk]

Mogelijk zie ik iets over het hoofd, maar die Wikipedia-link gaat over betrekkelijk eenvoudige gevallen van slechts twee functies die netjes op elkaar passen.

 

Stel nu eens dat we dit hebben:

 

f(x,y,z) = g₁(  g₂( g₃(y,z) )  ,  g₄(z)  ,  g₅( g₆(x,z),y,x )  ,  g₇( g₈(g₉(y,z)) ),  x  )

Ik snap misschien niet wat je bedoelt met op elkaar passen, maar ik zie geen probleem. Definieer gewoon een functie (laat ik die g noemen) zodat:

\(f=g_1\cdot g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\)

waarbij

\(g_1:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}\)

en

\(g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^5:(x,y,z)\to\ (g_2(g_3(y,z)),g_4(z),g_5(g_6(x,z),y,x),g_7(g_8(g_9(y,z))),x)\)

Nu kan je dit afleiden zoals op wiki, f staat immers geschreven als een samenstelling van twee andere functies.

Omdat je natuurlijk nog met die g_i's zit (i=2..9) zal je hier en daar de kettingregel meerdere keren moeten toepassen.

Als het niet duidelijk is wil ik het gerust eens voordoen op dit voorbeeld.

[Bartjes]

Het begint me te dagen...
 
Maar wordt het zo geen ontzettende warboel?