aftelbaarheid; surjectieve functie

[Shadow]

Hallo,
 

aftelbaarheid 431 keer bekeken

 
Kan iemand mij uitleggen waarom de functie 'slechts' surjectief hoeft te zijn, en niet daarnaast ook injectief?, in andere woorden: waarom maakt het niet uit dat beelden elkaar overlappen?
 
b.v.d.

[Bartjes]

Een verzameling A heet aftelbaar precies dan wanneer je aan de natuurlijke getallen genoeg hebt om ze te nummeren. Als je aan slechts een deel van de natuurlijke getallen al genoeg hebt of zelfs elementen van A van meerdere rangnummers kunt voorzien, heb je zeker genoeg natuurlijke getallen om A te nummeren. Ook dan is A dus aftelbaar. We noemen een verzameling A pas overaftelbaar wanneer er te weinig natuurlijke getallen bestaan om ieder element van A van minstens één uniek rangnummer te voorzien.

[Anton_v_U]

Het maakt niet zoveel uit of je meer dan één natuurlijk getal knoopt aan een element van de verzameling S. Het gaat er maar om dat elk element van S minstens één getal heeft. Het aantal elementen van S is dan hoogstens het aantal elementen van M. En als M een eindig aantal elementen heeft, heeft S dat dus ook.
 
Als M een oneindig aantal elementen heeft (M = N, alle natuurlijke getallen) dan hoeft S niet een oneindige verzameling te zijn. Bijvoorbeeld:
 
S: {0,1}
M de natuurlijke getallen.
f: 0 of even -> 0 en oneven -> 1.
 
Toch is bijectie van f: N -> M volgens mij geen noodzakelijke voorwaarde voor aftelbare oneindigheid:
 
S {alle natuurlijke getallen} S is aftelbaar oneindig.
M {alle kwadraten}  dus een deelverzameling van de natuurlijke getallen
f: wortelfunctie
 
Dit is een bijectie maar een bijectie van een deelverzameling van N op S.
Waarmee is aangetoond dat er net zoveel natuurlijke getallen zijn als kwadraten. Dus alle natuurlijke getallen zijn kwadraten 

[Math-E-Mad-X]

 
Toch is bijectie van f: N -> M volgens mij geen noodzakelijke voorwaarde voor aftelbare oneindigheid:
 
S {alle natuurlijke getallen} S is aftelbaar oneindig.
M {alle kwadraten}  dus een deelverzameling van de natuurlijke getallen
f: wortelfunctie
 

 
Het is per definitie een noodzakelijke voorwaarde dat f bijectief is.
 
In die tekst wordt "aftelbaar oneindig" namelijk gedefinieerd met behulp van een bijectie tussen N en S.
 
Het probleem met jouw bewijs met die wortelfunctie is dat je er bij voorbaat al vanuit gaat dat M een oneindig aftelbare verzameling is. Echter, om dat aan te tonen heb je alsnog een bijectieve functie nodig tussen N en M.

[Anton_v_U]

In de tekst staat dat er een afbeelding bestaat die aan de voorwaarden voldoet, niet dat elke afbeelding aan de voorwaarden voldoet. Ik had 't verkeerd gelezen. Toch is mijn wortelfunctie een perfecte bijectieve afbeelding van M: alle kwadraten naar N: alle natuurlijke getallen.