Hoe kan een primitieve functie bewezen worden?

[liamgek]

De primitieve functie van f(x)=g^x is F(x)= 1/ln g *g^x. De primitieve functie van f(x)= ln x geeft F(x)= x ln x -x.
 
Is er een manier om zulke dingen te bewijzen? Ik heb al het een en ander geprobeerd: Omgekeerd werken met Newton's quotiënt levert niet veel op, althans niet bij mij. Ik kan me ook niet zomaar even bedenken als je 1/ln g *g^x gaat differentiëren dat je uitkomt op precies g^x. Met het differentiëren zijn er een hoop systematisch aantoonbare regels die aan te tonen zijn met het Newton's quotiënt. Hoe kan je dat quotiënt gebruiken om hetzelfde te doen, maar andersom?
 
EDIT: Vergeten toe te voegen. Ik bedoel een methode zonder het differentiëren van de oorspronkelijke functie. Dus hoe deze primitieven ooit voor het eerst bepaald werden.

[mathfreak]

Stel f is een functie met F als primitieve, dan geldt per definitie dat F'(x) = f(x).

[tempelier]

Je bedoelt dat de primitieve niet mogen worden terug gedifferentieerd neem ik aan.
 
Voor de bewijzen is het dan de vraag wat je al als bewezen hebt.
 
Voor het eerste geval moet je de functie herschrijven tot een e macht.
(De primitieve van de e-macht geldt als standaard)
 

\(f(x)=e^{x\ln g}\)

 
=================
 
De tweede vorm kan worden gevonden uit partiële integratie.

[Safe]

Hoe vind jij:
 

\(\int xdx=...\)

 
Welke definitie gebruik je voor de primitieve functie van f(x)

[liamgek]

 
De tweede vorm kan worden gevonden uit partiële integratie.

Hoe? Ik heb dan ln x dx. Hoe kan je die opsplitsen in meerdere delen met een variabele? En je hebt twee functies nodig die vermenigvuldigd worden met elkaar om een partiële integratie toe te passen, toch?

Hoe vind jij:
 

\(\int xdx=...\)

 
Welke definitie gebruik je voor de primitieve functie van f(x)

Dat is 0,5X².  De primitieve functie definieer ik zelf als de oorspronkelijke functie van een derivaat. Dus met andere woorden gewoon omgekeerd differentiëren.

[tempelier]

\(\int \ln x \quad dx= x\ln x -\int x \quad d\ln x\)

 
f(x)=x  is ook een funktie.

[Safe]

De primitieve functie definieer ik zelf als de oorspronkelijke functie van een derivaat. Dus met andere woorden gewoon omgekeerd differentiëren. 

 
Dus de 'bekende' rekenregels en stellingen plus de standaardintegralen ...
 
Zie de post van tempelier die geeft je de toepassing van partieel differentiëren 'cadeau' ...

[liamgek]

 
Volgensmij snap ik hem. f(x)=ln x en g'(x)= 1. Dan is de eerste term aan het rechterlid gelijk aan x ln x en de 2e term is de integraal van 1. Dat is x.  Dus dan wordt het x ln x -x inderdaad. Bedankt!