limiet van een functie met een breuk

[Christoph Ronken]

Bij het berekenen van een limiet naar oneindig (positief) van de functie

(3-x)^(1/2)+4-x begrijp ik het niet zo goed. Er bestaan toch geen uitkomsten naar +oneindig?(Vanwege de wortel) Echter bij de verbetering werd mijn "/" niet goedgekeurd. Klopt mijn conclusie dan niet?

[Safe]

Bij het berekenen van een limiet naar oneindig (positief) van de functie

(3-x)^(1/2)+4-x begrijp ik het niet zo goed. Er bestaan toch geen uitkomsten naar +oneindig?(Vanwege de wortel)

 
Het domein van:

\(\sqrt{3-x}\)

is bepaald door 3-x>=0, dat geeft x<=3, maw x kan niet naar + oneindig gaan ... , precies jouw conclusie!
 
Ga de opgave nog eens na ...

[Christoph Ronken]

Bedankt, ik had een klein foutje in mijn opgave.

Echter ben ik ook nog een andere tegengekomen die me enkele vragen naar boven brengt. Namelijk bij de limiet van x naar pi (x>pi) voor de functie csc(x).

Als je de cosecans omzet tot 1/sin(x), kan je het nulpunt van de noemer toch niet wegwerken? Een sinus valt toch niet verder te ontbinden?

[Safe]

Bedankt, ik had een klein foutje in mijn opgave.

 
Hier ben ik ook benieuwd naar ...
 

Namelijk bij de limiet van x naar pi (x>pi) voor de functie csc(x).
 

Geef de opgave ...

[Christoph Ronken]

De opgave was oorspronkelijk (3+x)^(1/2)+4-x, ik had die echter verkeerd overgenomen, vandaar dat ik er niet uit kwam.

De opgaven van de andere die ik niet begijp zijn:

Lim csc(x) =? (Voor x naar pi met x>pi)

Bij deze zou ik een tekenverloop opstellen en daardoor krijg ik een uitkomst van -oneindig.

Lim [x^3 cot^3(2x)] = ? (Voor x naar 0)

Dit is een hele lastige, na een uur zoeken weet ik me hier nog geen raad bij. Als je cot^3(2x) omzet krijg je [cos(2x)/sin(2x)]^3. De noemer is hierbij toch 0? Evenals x^3. De uitkomst kan echter geen 0 zijn want dat is niet goedgerekend.

[tempelier]

\(\frac{x^3}{\sin^3 2x}\cos^3 2x\)

[Christoph Ronken]

Tempelier, bedankt dat je wil helpen, maar kan je uitleggen wat ik vandaar moet doen? Ik heb er zo reeds al aan geprutst, maar heb geen enkel idee hoe ik dan verder moet.

[tempelier]

De cos gaat naar 1 als x naar nul gaat en daardoor is de cos voor de limiet dus niet meer interessant.
 
Het restant laat zich eenvoudig ombouwen naar de standaard limiet van:
 

\(\frac{\sin x}{x}\)

 
Weet je hoe dat moet of moet ik je een zetje geven?

[Christoph Ronken]

Ik zit te denken om de sin(2x) om te vormen tot 2sinxcosx, maar dat helpt me ook niet echt. Dus een zetje zou leuk zijn ja.

[tempelier]

Goed je methode zou kunnen werken maar het is niet de standaard methode.

 

\(\frac{x^3}{\sin^32x}=\Bigr[\frac{x}{\sin2x}\Bigl]^3\)

 

We kunnen nu volstaan door slechts te kijken naar:

 

\(\frac{x}{\sin 2x}\)

 

Dit geeft twee mogelijkheden:

 

1. De elegante door substitutie.

2. De botte bijl met De l'Hopital.

[Christoph Ronken]

Zou je dit nog iets verder kunnen uitwerken aan de hand van de substitutie die je vermeldt? Ik link dat woord namelijk met stelsels waarbij je de ene in de andere vergelijking invult. Hôpital Geeft me een uitkomst van (-2x/sin^2(2x)).cos(2x)

Het zou trouwens zonder Hôpital moeten kunnen aangezien we die leerstof toen nog niet gezien hadden.

[tempelier]

\(\frac{x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}\times\frac{2x}{\sin 2x}\)

 
laat nu: 2x=t dan:
 

\(\frac{x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}\times\frac{t}{\sin t}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\frac{\sin t}{t}}\)

 
De laatste vorm bevat nu een standaard limiet.

[Christoph Ronken]

Wauw! Je bent ongelofelijk bedankt, ik snap het eindelijk.

[tempelier]

Je doet me blozen hoor.
 
Maar bedenk wel dat ik het geheel in stukjes heb geknipt zodat de formules niet te groot werden.
Als je zoiets inlevert moet natuurlijk alles (wat ik achtereenvolgens wegliet) wel worden meegenomen.

[Th.B]

Dus de uiteindelijke uitkomst is...