bewijs: f-1: B->A is een bijectie

[Shadow]

Hoi,
 

bijectie 938 keer bekeken

 
- Waarom is middels de eerste twee punten niet de bijectie van f^-1: B -> A al aangetoond??
 
- Waarom tonen ze aan dat geldt (f^-1)^-1=f ?
 
- Waarom geldt niet: (f^-1)^-1= (f^-1(b))^-1= b ? Oftewel er geldt (f^-1)^-1= B->B
 
- Hoe komen ze bij de bewijsvoering (ii) aan (f^-1)^-1(a)= b ? Moet dit niet eerst ergens aangetoond worden, of is (f^-1)^-1 al een soort van gedefinieerd? Ik zou alleen weten dat geldt dat (f^-1)^-1(a)=b als ik weet dat (f^-1)^-1=f.

[Drieske]

Misschien moet je de opgave (en niet enkel de oplossing) geven? Zo valt het moeilijk te zeggen. 
 
De eerste 2 puntjes bewijzen alleszins de bijectiviteit...

[Shadow]

Oh, oeps, normaal gesproken staat de [complete] vraag bovenaan:P
 
Toon aan dat f^-1 een bijectie is en dat geldt (f^-1)^-1=f.
 
Mijn eerste twee punten vervallen dus...
 
Zou je misschien kunnen uitleggen waar (f^-1)^-1 nou precies voor staat? Ik snap namelijk niet waarom ze een a invullen, en niet een b, terwijl ze voor f^-1 wel een b invullen.
 
Als geldt dat (f^-1)^-1 geschreven wordt als (f^-1)^-1(a)= b, dan vervalt mijn vierde punt ook, 

[mathfreak]

Zou je misschien kunnen uitleggen waar (f^-1)^-1 nou precies voor staat?

Stel f^-1 = g, wat kun je dan zeggen van g^-1? Wat is dus de betekenis van (f^-1)^-1?

[Shadow]

g^-1 is volgens mij dan (f^-1)^-1. (f^-1)^-1 lijkt mij dan gewoon f.
 
Stel:
f gaat van A->B,
dan gaat
f^-1 van B->A.
g dus ook van B->A.
g^-1 zou dus moeten gaan van A->B
(f^-1)^-1 dus ook...
 
Maar daar ligt mij nou het probleem. Ik zie (f^-1)^-1 als f^-1, waar je vervolgens weer de inversie van neemt. Dus ik zie (f^-1)^-1 als B->A->B... En dat klopt dus niet.
 
Dus hoe moet ik (f^-1)^-1 'lezen'? Heb je misschien een concreet/simpel voorbeeld?
 
Ik loop op het einde vast:
 
f:A->B met f(x)= 2x
dan geldt
f^-1:B->A met f(x)=0.5x (of f(y)=0.5y)
en (f^-1)^-1=B->B(???) met f(x)=.............?
 
En ook:

Bijectie 1 1037 keer bekeken

 
Waarom is het rode op zichzelf al niet genoeg bewijs voor de surjectiviteit van f^-1? Volgens die definitie staat toch dat voor elke a geldt f(b)^-1=a? Oftewel de surjectiviteit is al per definitie vastgelegd?

[mathfreak]

g^-1 is volgens mij dan (f^-1)^-1. (f^-1)^-1 lijkt mij dan gewoon f.

Inderdaad, als je van de inverse functie weer de inverse neemt krijg je de oorspronkelijke functie terug.

[Demophilus]

g^-1 is volgens mij dan (f^-1)^-1. (f^-1)^-1 lijkt mij dan gewoon f.

 

Stel:

f gaat van A->B,

dan gaat

f^-1 van B->A.
g dus ook van B->A.
g^-1 zou dus moeten gaan van A->B
(f^-1)^-1 dus ook...

 

Maar daar ligt mij nou het probleem. Ik zie (f^-1)^-1 als f^-1, waar je vervolgens weer de inversie van neemt. Dus ik zie (f^-1)^-1 als B->A->B... En dat klopt dus niet.

Je bekijkt het goed,

\( f^{-1}:B \to A \)

 is inderdaad terug een functie en zijn inverse wordt genoteerd met

\((f^{-1})^{-1}:A\toB \)

.

Voor een simpel concreet voorbeeld, beschouw het volgend

\(A = \{1,2,3\}\)

en

\(B=\{4,5,6\}\)

en definiëren

\(f:A \to B: x \mapsto x+3 \)

.

Zijn inverse is dus

\( g: B \to A: x \mapsto x-3\)

. Nu gaat de inverse van g, dus

\( g^{-1}=(f^{-1})^{-1}\)

opnieuw van A naar B.
Niet zo toevallig is natuurlijk

\( g^{-1} = f\)

.
 

Ik loop op het einde vast:

 

f:A->B met f(x)= 2x

dan geldt

f^-1:B->A met f(x)=0.5x (of f(y)=0.5y)
en (f^-1)^-1=B->B(???) met f(x)=.............?

Ik hoop dat mijn uitleg hierboven het een beetje verduidelijkt.

 

En ook:
Bijectie 1.png

 

Waarom is het rode op zichzelf al niet genoeg bewijs voor de surjectiviteit van f^-1? Volgens die definitie staat toch dat voor elke a geldt f(b)^-1=a? Oftewel de surjectiviteit is al per definitie vastgelegd?

\( f^{-1}:B \to A \)

is surjectief als en slecht als

\( \forall a \in A: \exists b \in B: f^{-1}(b) = a \)

dus in woorden
voor elk element a in A, bestaat er een element b in B zodat f^-1(b) = a. Die equivalentie in rood garandeert niet dat er zo een b bestaat. 

[Demophilus]

Om nog even terug te komen op mijn voorbeeld, vind ik het soms handig om functies voor te stellen als pijltjes tussen deelverzamelingen (vaak wordt dit gebruikt om functies wat meer te visualiseren).
Dus in het geval van mijn eerder voorbeeld kunnen we f voorstellen als:
1 -> 4
2 -> 5
3 -> 6
 
Zijn inverse is dan gewoon de kolommen verwisselen of de pijlen omdraaien
4 -> 1
5 -> 2
6 -> 3
 
Je ziet dan als je de pijlen nog is omdraait je opnieuw de exact dezelfde functie uitkomt.

[Shadow]

Hi Demophilus,

 

bedankt voor je bericht[en].

 

Ik denk dat ik nu weet waar ik fout zat, ik las namelijk ((f^-1)^-1) als (f^-1(f^-1)), maar dat klopt natuurlijk niet...

 

Bv.

f(f^-1(f(f^-1))): B(->A->B->A)->B

(((f^-1)^-1)^-1): B->A

 

Oftewel, een inverse is niet zozeer een 'samenstelling' (namelijk dat je een keten van inputs/domeinen en outputs/codomeinen krijgt), maar het draait 'slechts' de richting om.

 

Je zou het ook zo kunnen schrijven voor het begrip (niet dat het wiskundig iets betekent of zo):

 

(((f^-1)^-1)^-1): ((B->A)->(A->B)->) B->A

 

Tussen dikgedrukte haakjes, omdat je alleen werkt met het uiteindelijke domein en codomein buiten de haakjes. In het geval van een samenstelling heb je een 'keten'; het 'eerste' codomein wordt het 'tweede' domein, het 'tweede' codomein wordt het 'derde' domein, etc., oftewel je werkt ook met alle tussen-[co]domeintjes...

 

Misschien dat ik het niet erg wiskundig/netjes uitleg, maar ik denk dat ik nu begrijp waar het misging en hoe het wel moet.

 

\( f^{-1}:B \to A \)

is surjectief als en slecht als

\( \forall a \in A: \exists b \in B: f^{-1}(b) = a \)

dus in woorden

voor elk element a in A, bestaat er een element b in B zodat f^-1(b) = a. Die equivalentie in rood garandeert niet dat er zo een b bestaat. 

 

Hm, hoezo niet?

 

Het stuk in het rood zegt toch:

 

Voor elke a in A geldt f^-1(b)=a.

 

Oftewel, voor elke a in het codomein is er blijkbaar een b. Daarmee is de surjectiviteit al aangetoond, niet?

[Demophilus]

Hm, hoezo niet?

 

Het stuk in het rood zegt toch:

 

Voor elke a in A geldt f^-1(b)=a.

 

Oftewel, voor elke a in het codomein is er blijkbaar een b. Daarmee is de surjectiviteit al aangetoond, niet?

Ik denk dat je de equivalentie een beetje verkeerd interpreteert, wat daar staat is het volgende:
Voor elk element a in A en elk element b in B, geldt dat als

\( f^{-1}(b) =a\)

dan is

\( f(a) = b\)

en ook als

\( f(a) =b \)

dan is

\(f^{-1}(b) =a\)

. Het garandeert dus niet dat er voor elk element a in A, een element b in B bestaat zodat 

\( f^{-1}(b) =a\)

, het garandeert enkel dat als er zo een b bestaat dan geldt 

\(f(a) =b\)

.
 
Ik zal beide statements nog eens in kwantoren zetten en dan is het hopelijk duidelijk:
surjectiviteit:

\( \forall a \in A: \exists b \in B: f^{-1}(b) = a\)

definitie van inverse:

\( \forall a \in A: \forall b \in B: f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) =b\)

 
De definitie van de inverse in combinatie met bijectiviteit van de functie, geeft natuurlijk de conclusie dat de inverse wel surjectief moet zijn.

 

[Shadow]

Oh ja, ik zie het nu!
 
Bedankt voor al je hulp, ben blij dat ik het eindelijk snap!!:)

[Demophilus]

Dat is graag gedaan!