unieke inverse

[Shadow]

Haj,
 
ik heb een kleine vraag over een bewijs dat een bijectieve functie slechts één inverse heeft.
 

unieke inverse 362 keer bekeken

 
Ik snap het bewijs wel, maar mijn vraag is, waarom noteren ze het niet zo:
 
g(b)= a₁ <=> f(a₁) = b
h(b)= a₂ <=> f(a2) = b
 
want je weet in principe nog niet dat geldt: a₁=a₂ (dit zou je wel even in een regel kunnen aantonen dankzij de injectiviteit van f, maar het hoeft niet eens voor het bewijs)...
 
Zijn ze 'lui' geweest en hebben ze a en a opgeschreven i.p.v. a₁ en a2 (aangezien het niet nodig is voor dit bewijs om de distinctie te maken)? Of is het zo vanzelfsprekend dat altijd geldt a₁=a₂, dat ze maar meteen a en a opschrijven?
 
Je gaat er van tevoren al vanuit dat g en h hetzelfde beeld geven voor b, loop je dan niet de kans dat je een aanname te veel maakt?
 
Als het vanzelfsprekend is, zou ik hebben gezegd: g(b) en h(b) geven voor elke willekeurige b allebei dezelfde a, dan moet wel gelden g(b)=h(b). Is dit dan ook een prima bewijs?

[dirkwb]

Nee die a's moeten gelijk zijn want je kan dan de injectiviteit gebruiken om tegenstrijdigheid aan te tonen. Je gaat ervanuit dat er twee inverses zijn en pakt dan één punt om te laten zien dat die twee inverses gelijk zijn.

[Shadow]

Welke tegenstrijdigheid wordt hier aangetoond?
 
En wat bedoel je met 'je pakt één punt', ik neem aan dat je bedoelt je pakt één b, maar je weet niet bij voorbaat al dat die a's gelijk zijn toch? Dat zou je kunnen beredeneren middels de injectiviteit van f...
 
Sorry, je antwoord hielp me niet verder:P

[ymodriel]

 
 
Of is het zo vanzelfsprekend dat altijd geldt a₁=a₂, dat ze maar meteen a en a opschrijven?

 
f is bijectief en dus injectief. Dit houdt in dat geen twee verschillende elementen hetzelfde beeld hebben. Uit
 

f(a₁)=b, f(a₂)=b

 

en f injectief volgt dus a₁=a₂. 
 
Het is dus inderdaad vanzelfsprekend, gezien f bijectief is.