zwaartekracht van een platte aarde

[always]

Stel de aarde is zo plat als een pannenkoek, met dezelfde massa, hoe groot is dan de zwaartekracht op de schijf?
Je zou zeggen hetzelfde want de variabelen van de formule zijn hetzelfde. De afstand tot het middelpunt (we nemen even aan dat je in het centrum van die schijf staat) is gelijk, en de massa is gelijk?
 
De hoeveelheid massa direct onder je is alleen veel minder. Maar hoe bereken je dan de zwaartekracht. Weeg je op een platte schijf  evenveel als op een bolle.
 
Op de polen van onze aarde ben je ook wat zwaarder omdat je dichter bij het middelpunt zit. Toch begrijp ik dat niet, want de hoeveelheid massa onder je is toch ook minder. In hoeverre zijn dat variabelen die elkaar compenseren en waardoor is dat juist ten gunste van juist een grotere zwaartekracht en niet van een lichtere. Om dat beter te begrijpen heb ik bovenstaand voorbeeld genomen, omdat overdrijvingen de dingen nogal eens verduidelijken?!

[tempelier]

Om het uit te rekenen kun je over de dikte integreren.
 
Neem je aan dat je pannenkoek oneindig is dan is de zwaartekracht overal het zelfde.
Maak je een eindige pannenkoek dan is de zwaartekracht kleiner aan de rand.
 
Dat je aan de polen iets zwaarder weegt komt niet omdat je minder massa onder je zou hebben.
Maar omdat er evenveel massa is die aan je trekt maar gemiddeld is de afstand tot elk stukje iets korter.

[always]

Ok, dus het enige wat wel verandert in de formule is dan de afstand tot het zwaartepunt, die wordt kleiner. Maar stel ik bevind me in het centrum van de huidige aarde dan is de afstand tot elk stukje toch het allerkortst, dus zou de zwaartekracht daar het sterkst zijn. Toch lijkt het mij niet dat je daar nu het zwaarst weegt. Dus ligt er ergens een grens waarbij de afstand je juist lichter maakt en even verder weer zwaarder, waar zou dat liggen?
 
En hoe kan ik begrijpen/uitrekenen wat de gemiddelde afstand is bij een platte ronde schijf?
even concreet. Ik ga uit van een eindige ronde platte aarde met een diameter van 100.000 km. De dikte is 1 km, met dezelfde massa. Ik weet niet of dat een verdeling is die gelijkwaardig is aan de huidige afmetingen, maar verbeteringen zijn welkom.
Hoeveel bedraagt dan ongeveer de zwaartekracht als ik midden in het centrum sta? Is die dan altijd groter dan 9,8m/s2? Hoe bereken je dus de gemiddelde afstand?

[Flisk]

Zoals tempelier al zegt, dit los je op m.b.v. integraalrekening. Werken met de gemiddelde afstand zal niet gaan.
Hier wat leesvoer. Een schijf komt er ook in voor, zie pg6 en verder.

Even terzijde, de vorm van de Aarde wordt best benadert door een afgeplatte bol (geoïde). Het is een leuke oefening om het zwaartekrachtsveld a.g.v. een schijf te berekenen maar laat je niet gek maken door samenzweringstheorieën waarin de Aarde plat is.

[Michel Uphoff]

Toch lijkt het mij niet dat je daar nu het zwaarst weegt. Dus ligt er ergens een grens waarbij de afstand je juist lichter maakt en even verder weer zwaarder, waar zou dat liggen?

 
In het centrum van de Aarde ben je gewichtloos (g is daar 0). Op de Aardkorst ben je het zwaarste (tenminste, als we er even van uit gaan dat de Aarde homogeen is, wat niet het geval is). Als je in een put zou afzakken naar het centrum van deze hypothetische Aarde zou je gewicht lineair met de afstand afnemen, dat volgt uit het shell theorema (klik).
 
Maar in werkelijkheid is de Aarde niet homogeen, de kern heeft een veel hogere dichtheid dan de korst. Als je daar rekening mee houdt verloopt de zwaartekracht als in deze infographic:
 

Infographic inner Earth 1528 keer bekeken

 
Dat je aan de polen iets zwaarder bent (zo'n 350 gram voor een volwassene) vergeleken met jouw gewicht aan de evenaar, komt door twee oorzaken: Aan de evenaar word je door de middelpuntvliedende kracht een beetje naar buiten geslingerd, waardoor je daar iets minder weegt dan elders, en de Aarde is licht afgeplat waardoor je aan de polen iets dichter bij het massacentrum bent, en daardoor nog wat zwaarder bent dan aan de evenaar.
 

Hoeveel bedraagt dan ongeveer de zwaartekracht als ik midden in het centrum sta?

 
Volgens deze discussie is de te gebruiken formule daarvoor

\(\frac{2GMm}{a^2}(1-\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}})\)

a is de straal van de schijf, M de massa van de schijf, m de massa van het voorwerp, x de afstand van het voorwerp boven het centrum van de schijf, en G is de gravitatieconstante. Of deze formule correct is weet ik niet.
 
Als je dit gaat doorrekenen voor een schijf van 1 km dik met de massa en het volume van de Aarde:
Het volume van die schijf is dan gelijk aan die van de Aarde, ongeveer 1*10¹² km³. Dus is het oppervlak 10¹² km² en dan krijg je een schijf met een straal a van ongeveer 550.000 kilometer en 1 km dikte. De hoogte x is 500 meter boven het massacentrum, we nemen voor m 1kg, M (aarde) is ongeveer 6.10²⁴ kg, G is 6,67.10⁻¹¹ Nm² kg⁻²
Plug ik deze waarden in de formule dan komt daar (als ik geen rekenfoutjes gemaakt heb) ruwweg 0,0026 m/s² uit, bijna 4000 keer minder dan de zwaartekracht aan het echte bolvormige aardoppervlak.

[Benm]

Dat is inderdaad wel een heel platte schijf. Je zou een compacter model kunnen nemen van zeg 5500 km straal en 100 km dik om wat hogere waarden te krijgen.

Vermoeddelijk is het vreemdste effect daaran dat de zwaartkracht niet 'naar beneden' richt naarmate je dichter bij de randen komt. Voordeel daarvan is wel dat je er nooit af valt: aan de rand trekt de zwaartekracht je aanzienlijk harder naar het midden dan dat je tegen de schijf gedrukt wordt

[tempelier]

#5
 
Ik wist dat er eerst een toename was.
Ben  daar lang geleden zelf eens mee gekomen.
 
Maar dat het er zo uit zag (met een lokaal minimum) wist ik niet.
Werkelijk een heel fraai plaatje en mijn kennis is daarmee weer wat verrijkt.

[always]

Bedoel je met 'ik wist dat er eerste een toename was' dat het op de aardse polen de zwaartekracht groter is door afplatting (iets van 9,83 ipv 9,81) en hoe verder de afplatting gaat dat er opeens een afname is (tot dus 0,0026)?
Waar zou dan ergen het omslag punt liggen.
 
En als je nou 350 gram meer weegt op de polen welk deel is daarvan toe te schrijven aan de afplatting en welk deel aan de verminderde middelpuntvliedende kracht?

[Michel Uphoff]

Ik heb het niet doorgerekend, maar uit mijn hoofd dacht ik dat beide effecten (rotatie en afstand) ongeveer even groot waren. Tezamen zijn ze goed voor ongeveer 0,5% gewichtsverschil tussen evenaar en polen. 

 

De standaard gravitatie van de Aarde is 9,80665 m/s²

Aan de evenaar is het 9,780 m/s²

En aan de polen 9,832 m/s² 

 

Overigens moet er aan dit soort sommetjes niet al teveel realiteitswaarde worden gehecht, er zijn meer factoren, zoals de dikte en dichtheid van de aardkorst, die de lokale gravitatie beïnvloeden. Hier een ruw kaartje van de gravitatie:

 

Earth_surfacegravity_lge 1524 keer bekeken

Bron: Curtin University (klik)

[Michel Uphoff]

@Tempelier: Maar dat het er zo uit zag (met een lokaal minimum) wist ik niet.

 
Die curve heb ik gemaakt op basis van de Prem data mbt. de dichtheidsgradiënt van de Aarde. Ze is niet al te nauwkeurig, maar geeft wel een redelijk beeld:

Image1 1524 keer bekeken

 

[always]

Maar hoe groot zal dan de zwaartekracht zijn tegen de rand van de schijf? Als je voor x 550.500 en voor a 550.000 neemt, dan krijg je dus 550.000*550.000=302.500.000.000 en 550.500*550.500=303.050.250.000 vervolgens dus de wortel = 778.171.
550.500/778.171=0,71-1=0,29
 
Deze was dus 500*500=250.000 en 550.000*550.000=302.500.000.000 vervolgens dus de wortel = 550.000,23
500/550.000,23=0,0009-1=0,9991
 
Klopt het dan dat de zwaartekracht tegen de rand dan een factor 0,9991/0,29=3,45 maal groter is dan in het centrum dus iets van 3,45 maal 0,0026m/s2 = 0,0089m/s2.
 
Klopt deze berekening een beetje? Dit bedraagt dan de zwaartekracht óp de schijf. Maar hoe groot zou daar de zwaartekracht zijn náár het centrum van de schijf, zoals Benm schrijf?

[Michel Uphoff]

Ik heb bovenstaande niet nagerekend, maar het kan niet kloppen. De formule is alleen bedoeld voor een berekening van de versnelling direct boven het centrum van de schijf, niet aan de rand.
Ga je naar de rand van de schijf op een afstand van 550000 km van het massacentrum van de schijf, dan lijkt mij dat je hier als benadering de totale massa in dat centrum mag projecteren, maar er ben daar echt niet zeker van.

 

Klopt dat ongeveer, dan is het eenvoudig te berekenen:

\(g=G.\frac{Ma}{r^2}\)

 

Massa Aarde is 6.10²⁴, r = 5,5.10⁸, G = 6,67.10⁻¹¹

 

Daar komt dan 0,0013 m/s²uit, ongeveer 1/7500 van de versnelling aan het reële oppervlak van de Aarde, de helft van de gravitatie direct boven het centrum uit de vorige berekening, maar nu evenwijdig aan het oppervlak. De verticale component van de gravitatie zal aan de rand heel weinig voorstellen, maar ik weet niet hoe je dat kan berekenen.

[always]

Ok, je weet het dus niet zeker of je berekeningen deze keer kloppen. Maar ben je wel zeker over het feit dat de zwaartekracht aan de randen zwakker zijn dan in het centrum, de helft dus volgens je berekeningen? Op zich wel logisch misschien omdat je afstand tot het zwaartecentrum groter is geworden. Maar goed ook hier is er dus meer massa tussen jou en het zwaartecentrum

[anusthesist]

Vermoedelijk is het vreemdste effect daaran dat de zwaartkracht niet 'naar beneden' richt naarmate je dichter bij de randen komt. Voordeel daarvan is wel dat je er nooit af valt: aan de rand trekt de zwaartekracht je aanzienlijk harder naar het midden dan dat je tegen de schijf gedrukt wordt

Hier een leuk filmpje van Vsauce over o.a. het gevolg van zwaartekracht op een platte aarde:

https://www.youtube.com/watch?v=VNqNnUJVcVs

[vlaaing peerd]

 

In het centrum van de Aarde ben je gewichtloos (g is daar 0). 
 
*knip*

 

 en de Aarde is licht afgeplat waardoor je aan de polen iets dichter bij het massacentrum bent, en daardoor nog wat zwaarder bent dan aan de evenaar.

 
 

 
 Dit komt me wat vreemd over. Ik snap dat je in het centrum "nergens meer heen kan vallen", maar hoe rijmt dit met de 2e zin. Word je niet geleidelijk aan lichter naarmate je dichter bij het centrum van de aarde komt?