zwaartekracht lichtere aarde

[always]

Stel de aarde wordt ineens 10%lichter (minder massa) wat gebeurt er dan met zijn baan om de zon.
Is het dan zo dat de verminderde traagheid weggestreept kan worden tegen de verminderde zwaartekracht, zodat er niets verandert. Of wordt de baan wijder of juist kleiner?

[Jan van de Velde]

de aarde draait in haar huidige baan omdat de centripetaalkracht die de aarde in haar baan houdt gelijk is aan de zwaartekracht tussen zon en aarde.
 
zoek de formules op voor zwaartekracht en centripetaalkracht en stel ze aan elkaar gelijk. Beoordeel dan welke invloed de massa heeft op de baanstraal r. 

[always]

Zijn de zwaartekracht en de centripetaalkracht niet hetzelfde dan? Ik bedoel de centripetaalkracht wordt toch alleen veroorzaakt door de zwaartekracht? Dus als de zwaartekracht afneemt neemt de centripetaalkracht ook af, dus dan wordt de baan wijder???
 
Maar waarom zou de traagheid van massa dit niet compenseren?

[Jan van de Velde]

Zijn de zwaartekracht en de centripetaalkracht niet hetzelfde dan? Ik bedoel de centripetaalkracht wordt toch alleen veroorzaakt door de zwaartekracht? 

 
helemaal correct. En dus kun je beide formules aan elkaar gelijk stellen. En dán valt er wat op aangaande massa.
 

Dus als de zwaartekracht afneemt neemt de centripetaalkracht ook af, dus dan wordt de baan wijder???
 

 
dus zet eerst die beide formules eens naast elkaar voordat je conclusies gaat trekken

[always]

Fmpz= (m*v²) / r
Fz= G * ((m1*m2) / r²))
 
(m*v²) / r = G * ((m1*m2) / r²))
 
Maar wat is de eerste m? Is dat de totale massa? dus zon + aarde (m1+m2)?
 
Maar als alleen m verandert in die formules zegt mij dat toch niets over r

[Jan van de Velde]

Fmpz= (m*v²) / r
Fz= G * ((m1*m2) / r²))
 
(m*v²) / r = G * ((m1*m2) / r²))
 
Maar wat is de eerste m? Is dat de totale massa? dus zon + aarde (m1+m2)?
 

eerste m is massa aarde, en in de tweede formule kun je m1·m2 lezen als massa aarde x massa zon
 
kortom, in beide formules komt dezelfde m voor, en overigens ook dezelfde r
 

\(\frac{m_A \cdot v^2_A}{r} = G \frac{m_A \cdot m_Z}{r^2} \)

 

Maar als alleen m verandert in die formules zegt mij dat toch niets over r
 

Als je met dat "niets" bedoelt dat de massa van de aarde dus inderdaad geen invloed heeft op haar baanstraal dan is dat een geheel terechte conclusie:
 
deel beide aardmassa's tegen elkaar weg:

\(\frac{v^2_A}{r} = G \frac{m_Z}{r^2} \)

 
idem voor een baanstraal:

\(v^2_A = G \frac{m_Z}{r} \)

 
herschrijf:

\(r = G \frac{m_Z}{v^2_A} \)

 
oftewel, baanstraal hangt slechts af van de zonsmassa en de baansnelheid van de aarde. En de universele gravitatieconstante, maar ja, de naam zegt het al, die is sowieso constant..... 

[always]

Bedankt voor je les
 
Er gebeurt dus niets.
 
Wat ik me nog wel afvraag is waarom je niet inging op de traagheid maar mij in de richting stuurde van de middelpuntzoekende kracht en niet de middelpuntvluchtende kracht?
Hoewel mij inmiddels is gebleken dat de formules daarvoor hetzelfde zijn zegt wiki: "De term middelpuntvliedende kracht wordt in verband met cirkelvormige bewegingen ook soms gebruikt. Dan is het echter een kracht die werkt op het voorwerp die de cirkelvormige beweging onderhoudt, of een traagheidskracht". Dus de vluchtende kracht is gelijjk aan de traagheid. Maar waarom dan toch de middelpuntzoekende kracht erbij halen?

[EvilBro]

edit: Hmmmm.... ik zie hier iets over het hoofd. Doordat de massa is afgenomen is het makkelijker om de aarde van richting te laten veranderen. Dan is het toch makkelijker om meteen naar de formules te kijken.

Naar formules kijken lijkt mij in deze pas de tweede stap. Eerste stap is volgens mij kwalitatief inzien wat er moet gebeuren.

Aanschouw de aarde en de zon (negeer de teksten, die kloppen niet helemaal):

Bekijk de volgende twee situaties:
Stel dat de zwaartekracht van de zon zou verdwijnen. De aarde zou dan zijn pad rechtdoor vervolgen in de richting waarin hij dan beweegt (eerste wet van Newton). Merk op dat de afstand tot de zon hierdoor toe zou nemen.
Stel dat de snelheid van de aarde opeens nul zou worden. De aarde zou dan naar de zon toe vallen. Merk op dat de afstand tot de zon hierdoor af zou nemen.
Er zijn dus twee effecten. De snelheid van de aarde heeft tot gevolg dat de aarde van de zon af wil bewegen, en de zwaartekracht zorgt ervoor dat de aarde naar de zon toe wil bewegen. In de normale situatie zijn deze twee effecten precies in evenwicht (want de afstand tot de zon blijft gelijk).
Op het moment dat de aarde minder massa krijgt dan neemt de zwaartekracht af. De snelheid van de aarde blijft echter gelijk. Een van de eerder genoemde effecten wordt dus minder terwijl de ander hetzelfde blijft. Wat denk je dat er dan gaat gebeuren?

[Jan van de Velde]

Wat ik me nog wel afvraag is waarom je niet inging op de traagheid 

dat doe ik in zekere zin wel, want traagheid is in dit verband niks anders dan massa. 
Traagheid is een begrip dat weergeeft hoeveel moeite nodig is voor een verandering van snelheid van een voorwerp (en omdat snelheid een vectorgrootheid is, dus zowel snelheid in absolute zin als de richting van die snelheid) .
Neemt de massa af, dan neemt dus ook de moeite af die nodig is om dezelfde richtingsverandering te bewerkstelligen. Omdat bij een lichtere aarde de zwaartekracht navenant afneemt, gebeurt er niks. 
En dat zit ingebouwd in beide bekende formules.
 

..//.. middelpuntvliedende kracht ..//.. 
 

da's op zijn best een krachtboekhoudkundige term, zeker geen krachtverschijnsel. Die wordt vaak ook nog eens verkeerd opgevat als de kracht die ervoor zorgt dat een ronddraaiend iets van het middelpunt weg wil. Maar dat is niet zo. Wat trekt zo'n voorwerp dan naar buiten? Enneh, wegvallen van die middelpuntvliedende kracht zou dan betekenen dat een ronddraaiend voorwerp naar het centrum van zijn baan zou vallen. Ergo, middelpuntvliedende krachten zijn hier niet van toepassing.
 
Volgens Newton wil iets alleen maar gewoon rechtdoor met zijn zelfde snelheid. Een constante centripetale kracht zorgt dat het voorwerp rondjes blijft draaien. Wegvallen van die centripetale kracht (en dat kan de spankracht zijn van een touwtje waaraan iets rondslingert, of zwaartekracht, of coulombkracht, of magnetische kracht) betekent dat het voorwerp dán ophoudt met de bocht omgaan, en rechtdoor zijn weg vervolgt (en ook niet van het middelpunt vandaan zoals vaak beweerd wordt!!) 
 
Gebruik a.u.b. geen centrifugale krachten. Je moet zulke ingewikkelde referentiestelsels gaan bouwen dat je nogal eens gauw de fout in gaat.

[Michel Uphoff]

baanstraal hangt slechts af van de zonsmassa en de baansnelheid van de aarde

 
In de vereenvoudigde situatie, waarbij de massa van de Aarde t.o.v. de Zon vrijwel verwaarloosd mag worden klopt dat nagenoeg. Wordt die massaverhouding meer gelijk, dan wordt het anders. In de vereenvoudigde situatie ga je uit van een omloopduur P die gelijk is aan 2π.a/v en dus een cirkelbaan. Maar dat moet meer gelijke massaverhoudingen berekend worden met P = 2π a^3/2/(G(M+m))^1/2
Vanuit het frame van de Zon gezien (P=periode, a is straal of halve lange as, v= baansnelheid, M en m zijn massa Zon en Aarde)
 
Voorbeeldjes:
Afstand tot Zon 150 miljoen kilometer, baansnelheid 29,75 km/s, Mz=1,989.10³⁰ kg Ma=5,97.10²⁴ kg: Omloopduur: 366,645 dagen
Zelfde parameters, maar met Ma=1 kg: Omloopduur: 366,646 dagen, dat maakt dus vrijwel niets uit.
Zelfde parameters, maar nu is Ma ook 1,989.10³⁰ kg: Omloopduur: 141 dagen en dat is een enorm verschil.
In het laatste geval blijkt de beginafstand van 150 miljoen kilometer het aphelium te zijn, het perihelium ligt in de sterk elliptische baan op 50 miljoen kilometer, de halve lange as is dus 100 miljoen km.
 
Zie ook: Orbital energy and Kepler's laws: klik

[always]

Je reactie Michel roept bij mij toch weer wat vragen op.
Verwaarloosbare verschillen vind ik altijd interessant en toch belangrijk!
 
-0 Je gaat het probleem benaderen vanuit de omloopsnelheid. Maar als de aarde lichter wordt verandert dan ook altijd zijn omloopsnelheid? Stel dus dat de aarde wel lichter wordt maar de omloopsnelheid blijft hetzelfde verandert de straal dan ook? En idem maar dan als de aarde net zo zwaar wordt als de zon, verandert dan ook zijn baan als de omloopsnelheid gelijk blijft?
 
-1 De baan van de aarde verandert dus toch!! Maw de traagheid vereffent de zwaartekracht niet helemaal. Ik vermoed dan dat dat komt doordat het gemeenschappelijk zwaartepunt dan nog meer in het centrumvan de zon komt te liggen. De duur van de omloop vermeedert dan met enkele uren, en ik maak daaruit op dat de aarde dan in een wijdere baan komt te liggen?!
Maar hoe kan het dan dat als het zwaartepunt dichter bij de zon komt te liggen de baan wijder wordt ipv kleiner? Je zou immers verwachten dat als het dichter bij de zon komt te liggen de aarde ook juist dichter bij de zon komt te liggen? Toch gebeurt dat blijkbaar niet waarom niet?
 
-2 Waarom is de middelpuntvliegende/zoekende kracht alleen afhankelijk van de massa van de aarde? Die is toch ook afhankelijk van de massa van de zon? Want stel de massa van de zon verandert dan is de vliegende/zoekende kracht van de aarde toch ook anders? Toch staat de mZ niet in de forumule, waarom niet?
 
-3 Stel de aarde verliest ook massa maar staat ook ineens stil. Komt de aarde dan ook ineens verder van de zon te staan of is dat alleen als de twee lichamen ook om elkaar heen gaan draaien zodat het gemeenschappelijk zwaartepunt wordt 'benut'? Of kun je in dit geval wél stellen dat de traagheid precies wegvalt tov de zwaartekracht?

[Michel Uphoff]

Eigenlijk is het tweelichamen probleem vrij lastig te doorzien, zie ook de Kepler baan (klik).
 
Kepler vertrouwde op de waarnemingen (van Tycho Brahe), en stelde zijn baanwetten emperisch vast. Later legde Newton er een mathematische basis onder. Kepler maakte een fout in zijn derde wet, een zeer te vergeven fout, want de effecten waren voor hem toentertijd onmeetbaar. Kepler ging uit van de Zonnemassa als het massacentrum terwijl, zo concludeerde Newton, het massacentrum berekend moet worden uit de massa van Zon en planeet tezamen en de banen van de hemellichamen niet rond elkaar maar rond dat centrum moeten worden berekend.
 
Zolang de planeet naar verhouding erg weinig massa heeft, maakt het echter weinig uit. De Zon heeft 333.000 maal de massa van de Aarde. Maar eigenlijk moet je alle baanberekeningen doen t.o.v. het gemeenschappelijk massacentrum, en dat leidt soms tot niet intuïtieve uitkomsten.
 
Hier de aardbaan om de Zon, met de (ongeveer) correcte massa's en snelheid. Het rustframe van de afbeelding is het gemeenschappelijk massacentrum van Aarde en Zon. Aangezien de Zon zo zwaar is, ligt dat centrum slechts 450 km buiten het centrum van de Zon en dat is natuurlijk onzichtbaar in deze afbeelding:

Image1 978 keer bekeken

De baansnelheid is zo gekozen, dat de Aarde een nagenoeg perfecte cirkel om de Zon draait.
 
Hier weer de aardbaan om de Zon, maar nu is de massa van de Aarde gelijk gesteld aan die van de Zon terwijl de overige parameters gelijk bleven. Hier is als rustframe het centrum van de Zon gekozen.

Image2 978 keer bekeken

De omloopduur is met 141 dagen veel korter, maar hoe zit het nu met de baansnelheid? Die is in het getekende aphelium gelijk aan die van de cirkelbaan, en bij het perihelium dus hoger. Gemiddeld neemt de baansnelheid dus toe, en de baanomtrek wordt korter. Gezien vanuit de Zon heeft de aardbaan een lange as van 200 miljoen kilometer.
 
Om dat wat beter te kunnen zien hier dezelfde afbeelding van de banen, maar nu is het rustframe het gemeenschappelijk massacentrum  van Aarde en Zon. Omdat beide hemellichamen even veel massa hebben ligt dat logischerwijs in het midden:

Image3 978 keer bekeken

Als we nu naar de baansnelheden om dat massacentrum kijken (en dat is de enige correcte manier van toepassen van de door Newton verbeterde wetten van Kepler), dan zie je dat de even zware Zon en de Aarde beiden dezelfde ellipsen in 141 dagen rond het massacentrum trekken. De afstand Aarde massacentrum is maximaal 75 miljoen kilometer en minimaal 25 miljoen km. De lange as van de aardbaan is dan 100 miljoen kilometer.
 

Maar als de aarde lichter wordt verandert dan ook altijd zijn omloopsnelheid?
Stel dus dat de aarde wel lichter wordt maar de omloopsnelheid blijft hetzelfde verandert de straal dan ook?

 
Straal en omloopsnelheid wijzigen dus beiden, maar nogmaals, dat is vaak te verwaarlozen.
 

En idem maar dan als de aarde net zo zwaar wordt als de zon, verandert dan ook zijn baan als de omloopsnelheid gelijk blijft?

 
Dan is het heel goed zichtbaar, de omloopsnelheid en baan veranderen dan sterk.
 

ik maak daaruit op dat de aarde dan in een wijdere baan komt te liggen?

 
Als Aarde bij toenemende aardmassa en gelijkblijvende zonnemassa gemiddeld sneller en in een nauwere baan rond het massacentrum gaat draaien, dan is het dus ook een iets wijdere baan en iets tragere omloop bij een lichtere Aarde. Voor de Zon geldt dan het omgekeerde.
 

Maar hoe kan het dan dat als het zwaartepunt dichter bij de zon komt te liggen de baan wijder wordt ipv kleiner?

 
Dat blijkt duidelijk uit de drie afbeeldingen hierboven. In de eerste lag het massacentrum vrijwel in het centrum van de Zon, en in de derde tussen de even zware Aarde als Zon in.
 

Waarom is de middelpuntvliegende/zoekende kracht alleen afhankelijk van de massa van de aarde? Die is toch ook afhankelijk van de massa van de zon?

 
Ja, dat is hij. Als ik de massa van de Zon 2 keer zo groot maak, en ik wil de baanstraal van de Aarde op 150 miljoen kilometer houden, dan moet de baansnelheid van de Aarde met wortel 2 verhoogd worden naar pakweg 42 km/s. De omloopduur van de (vrijwel) cirkelbaan wordt dan wortel 2 korter, dus ongeveer 260 dagen. Wil ik echter de baansnelheid van de Aarde gelijk houden aan de ruwweg 30 km/s maar bij een dubbele zonnemassa, dan zal de afstand van de Aarde tot de Zon moeten verdubbelen, en wordt het jaar dus 2 keer zo lang.
 
Overigens, zoals Jan al toegelicht heeft; gebruik liever alleen de term middelpuntzoekende kracht.
 

Stel de aarde verliest ook massa maar staat ook ineens stil. Komt de aarde dan ook ineens verder van de zon te staan of is dat alleen als de twee lichamen ook om elkaar heen gaan draaien zodat het gemeenschappelijk zwaartepunt wordt 'benut'? Of kun je in dit geval wél stellen dat de traagheid precies wegvalt tov de zwaartekracht?

 
Als je de omloopsnelheid van de Aarde rond de Zon op nul stelt, valt hij naar het gemeenschappelijk massacentrum toe en de Zon doet dat (vrijwel onmeetbaar) ook, de Aarde verdwijnt in de Zon.
 
Alles hierboven gaat dus uit van een realiteit waarbij de ene massa niet verwaarloosbaar is t.o.v. van de andere. Meestal kan je vereenvoudigde formules toepassen die vrijwel het juiste resultaat geven, en dat is dus meestal aan te bevelen voor alledaagse natuurkundige problemen.
 
Maar in de astronomie mag je die vereenvoudigde formules meestal niet gebruiken vanwege de benodigde precisie, of omdat de ene massa absoluut niet verwaarloosbaar is t.o.v. de andere. Dit is bijvoorbeeld zo bij dubbelsterren of bij een planeetstelsel als Pluto en Charon, maar ook bij het Aarde-Maan systeem.