de √n wet

[chylomicron]

Hallo allemaal,

 

Ik ben nu eerstejaars Voeding en Gezondheid. De eerste tentamenweek schiet alweer op en ook statistiek staat dan op het programma. Omdat het alweer een tijdje geleden is dat ik hiermee bezig ben geweest, kwam ik de volgende formules tegen:

\(% MathType!MTEF!2!1!+-

% faaagCart1ev2aaaKnaaaaWenf2ys9wBH5garuavP1wzZbqedmvETj

% 2BSbqefm0B1jxALjharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0x

% bbL8FesqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaq

% pepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9Gqpi0dc9adbaqaaeGaciGa

% aiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3ccaWGzbGaeyypa0JcdaWcaa

% qaaiabeo8aZTGaamyEaaGcbaWaaOaaaeaacaWGUbaaleqaaaaaaaa!35C9!

\[\sigma Y = \frac{{\sigma y}}{{\sqrt n }}\]\)

en deze

\(% MathType!MTEF!2!1!+-

% faaagCart1ev2aaaKnaaaaWenf2ys9wBH5garuavP1wzZbqedmvETj

% 2BSbqefm0B1jxALjharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0x

% bbL8FesqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaq

% pepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9Gqpi0dc9adbaqaaeGaciGa

% aiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3ccaWGzbGccqGH9aqpcqaHdp

% WCliaadMfacqGHflY1daGcaaqaaiaad6gaaWqabaaaaa!37DA!

\[\sigma Y = \sigma Y \cdot \sqrt n \]\)

 
Wanneer gebruik je de /σ en wanneer vermenigvuldig je met σ in een opgave?
 
Dank

[gallo]

vervang de termen door getallen. bijvoorbeeld 12/3=4 en 4*3=12

 
edit: Maar waarschijnlijk bedoel je wat anders??

 

[EvilBro]

\(\sigma Y = \frac{\sigma y}{\sqrt{n}}\)

Hier lijkt het erop dat Y het gemiddelde is van n resultaten van het proces y.
 

\(\sigma Y = \sigma Y \cdot \sqrt n \)

Dit lijkt mij onzin tenzij \(\sigma_Y = 0\) of \(n = 1\).

[dannypje]

misschien is er wel een verschil tussen Y en y in die formule. En als je dan de juiste Y/y plaatst, zijn beide schrijfwijzen van de TS gelijkwaardig aan mekaar

 

 Y=y/n dus Y.n=y

 

[Mukti]

Het werkt als volgt:
 
Stel dat X normaal verdeeld is met gemiddelde mu(X) en standaardafwijking sigma(X).
 
Als Y de som is van n identiek verdeelde toevalsvariabelen X, dus Y = n*X, dan geldt:
 
mu(Y) = n*mu(X) en sigma(Y) = sigma(X)*sqrt(n).
Ofwel, de standaardafwijking van de som van n identiek verdeelde toevalsvariabelen is wortel n maal zo GROOT als die van 1 variabele.
 
Maar als Y het gemiddelde is van n identiek verdeelde toevalsvariabelen X, dus Y = X(gemiddeld), dan geldt:
 
mu(Y) = mu(X) en sigma(Y) = sigma(X)/sqrt(n).
Ofwel, de standaardafwijking van het gemiddelde van n identiek verdeelde toevalsvariabelen is wortel n maal zo KLEIN als die van 1 variabele.
 
Dat laatste is eenvoudig te verklaren doordat hoe groter een steekproef, hoe betrouwbaarder die wordt en hoe kleiner de standaardafwijking dus wordt.

[EvilBro]

Als Y de som is van n identiek verdeelde toevalsvariabelen X, dus Y = n*X,

Nee, dat klopt niet. Het moet zijn:

\(Y = \sum_{i=1}^n X_i\)

Y = n*X zou betekenen dat elke y uit Y 'gemaakt kan worden' door 1 x uit X te vermenigvuldigen met n.
 

dan geldt:
 
mu(Y) = n*mu(X) en sigma(Y) = sigma(X)*sqrt(n).

Dit klopt voor de som, maar niet voor n*X.
 

Ofwel, de standaardafwijking van de som van n identiek verdeelde toevalsvariabelen is wortel n maal zo GROOT als die van 1 variabele.
 
Maar als Y het gemiddelde is van n identiek verdeelde toevalsvariabelen X, dus Y = X(gemiddeld), dan geldt:

Ofwel:

\(Y = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\)

 

mu(Y) = mu(X) en sigma(Y) = sigma(X)/sqrt(n).

Dit klopt wel.
 

Ofwel, de standaardafwijking van het gemiddelde van n identiek verdeelde toevalsvariabelen is wortel n maal zo KLEIN als die van 1 variabele.
 
Dat laatste is eenvoudig te verklaren doordat hoe groter een steekproef, hoe betrouwbaarder die wordt en hoe kleiner de standaardafwijking dus wordt.

En dit laatste is "op het randje". Ten eerste omdat het verkeerd om is. De wiskunde verklaart waarom het gemiddelde van een grotere steekproef een betere schatter is voor de verwachtingswaarde dan een kleinere steekproef. Je kan deze ervaring gebruiken om een gevoel te krijgen bij de wiskunde, maar het is geen verklaring. Ten tweede omdat een steekproef hier eigenlijk niks mee te maken heeft. Het gaat hier om de beschrijving van een proces en die is waar ongeacht van of je er een steekproef bij doet.

[Mukti]

Dat is zeker waar.
Het woord verklaren was onhandig gekozen.
 
Ik bedoelde ermee dat men het feit dat wortel(n) nu "verkleinend" werkt op de standaardafwijking eenvoudig is te onthouden door te kijken naar het ervaringsfeit dat bij grotere steekproeven de betrouwbaarheid toeneemt.
Dit vooral omdat de vraagsteller aangaf niet goed te begrijpen waarom men soms met wortel(n) moest vermenigvuldigen en soms delen.