Het zonnestelsel een inertiaalstelsel?

[anusthesist]

Ik heb gekozen voor een prikkelende titel

Naar aanleiding van dit topic: http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/197346-middelpuntvliedende-kracht/#entry1045335, raakte ik licht in de war.

Er wordt vermeld dat de wetten van Newton niet standhouden in non-inertiaalstelsels wat intuïtief is: je zit in een optrekkende trein waarin een klein gewichtje aan een touwtje aan het plafond hangt. Ondanks dat ten opzichte van jou het gewichtje 'in rust' is, zie je dat het touwtje met gewichtje niet loodrecht naar beneden hangt, maar wat schuin in het vlak van de rijrichting van de trein.

Maar nu de verwarring; ons zonnestelsel is één grote 'bak' van continu vallende en dus versnellende hemellichamen, de planeten (daaromheen vallen weer manen), kometen en andere hemellichamen. Laat staan ons zonnestelsel in de Melkweg, onze Melkweg die richting Andromeda beweegt en ga zo maar door.

Newton's wetten (met name zijn universele gravitatiewet) verklaren heel goed hoe hemellichamen elkaar aantrekken.

Deze twee stellingen 1) Newton's wetten gelden niet in non-inertiaalstelsels behalve als je inertiaalkrachten introduceert en 2) Newton's wetten houden stand in het non-inertiale zonnestelsel, spreken elkaar tegen.

Waarin ligt hier de crux?

[Professor Puntje]

Dit is een interessante kwestie. Volgens Newton bestaan er een absolute ruimte en tijd. In alle referentiestelsels die ten opzichte van de absolute ruimte in rust zijn of eenparig rechtlijnig bewegen gelden Newtons wetten. In alle andere stelsels gelden Newtons wetten niet of niet helemaal. Wel kan men in de andere stelsels met F = m.a blijven werken wanneer men voor F de vectoriële som van alle echte krachten en alle bij de beweging van het stelsel behorende schijnkrachten neemt.

Een speciaal geval doet zich voor wanneer we lokaal rondom een waarnemer w een referentiestelsel R beschouwen dat in een globaal gravitatieveld g dat door het omringende universum wordt opgewekt in "vrije val" verkeert. In dit stelsel valt waarnemer w tezamen met zijn referentiestelsel R met dezelfde versnelling a = g als alle andere voorwerpen waarop geen andere krachten dan de gravitationele invloed van het omringende heelal werken.
 
1. Voor waarnemer w is het dus net alsof in R aan de eerste wet van Newton is voldaan zolang hij de gravitationele invloed van het omringende heelal maar op nul stelt.
 

2. Laat F_g de gravitatiekracht zijn die door het omringende heelal op een massa m wordt uitgeoefend en laat F_r de resultante van alle andere krachten zijn die op massa m werken. Dan geldt voor de versnelling a_u die de massa m ondergaat:

F_g + F_r = m.a_u

m.g + F_r = m.a_u
F_r = m.a_u - m.g
F_r = m.(a_u - g) .
 
Voor de versnelling a_r van de massa m bezien vanuit R geldt:
 
a_r = a_u - g .
 
Dus:
 
F_r = m.a_r .
 
Ook de tweede wet van Newton gaat daarom op in R zolang we de gravitationele invloed van het omringende heelal maar op nul stellen.

 
 
3. Over de geldigheid of ongeldigheid van derde wet van Newton in R moet ik nog even nadenken...

[Emveedee]

Volgens mij zit de crux ook deels hierin:

Newton's wetten (met name zijn universele gravitatiewet) verklaren heel goed hoe hemellichamen elkaar aantrekken.

Ook al zijn ze niet geldig in een niet-inertiaalstelsel, het verwaarlozen van dat effect is in dit geval nog steeds een bijzonder goede benadering.

Wat betreft de 3e wet, kan ik me eigenlijk niet voorstellen waarom die in een niet-inertiaalstelsel niet zou gelden, maar wellicht zie ik iets over het hoofd? Bijv. bij een auto in de bocht, de chauffeur oefent nog steeds evenveel kracht uit op de stoel als de stoel op hem, idem dito in 't geval van de passagier die tegen de deur gekwakt wordt.

Edit:

Welk inertiaalstelsel bedoel je precies, trouwens? Als je kijkt naar het massamiddelpunt van het zonnestelsel, de versnelling die deze ondergaat is (volgens mij) zo klein dat het zeer goed te verwaarlozen is als je naar de beweging van de planeten e.d. kijkt.

[Professor Puntje]

Wat betreft de 3e wet, kan ik me eigenlijk niet voorstellen waarom die in een niet-inertiaalstelsel niet zou gelden, maar wellicht zie ik iets over het hoofd? Bijv. bij een auto in de bocht, de chauffeur oefent nog steeds evenveel kracht uit op de stoel als de stoel op hem, idem dito in 't geval van de passagier die tegen de deur gekwakt wordt.

Ik ben er niet zeker van hoe het in niet-inertiaalstelsels met die derde wet zit. Neem een auto met daarin een kogeltje dat op een wrijvingsloos baantje in de lengterichting van de auto kan verschuiven. Zodra de auto optrekt zal het kogeltje vanuit de auto gezien door een schijnkracht naar achteren getrokken worden. Maar waarop oefent het kogeltje - opnieuw gezien vanuit de auto - dan een reactie-schijnkracht uit? 

[Professor Puntje]

Welk inertiaalstelsel bedoel je precies, trouwens? Als je kijkt naar het massamiddelpunt van het zonnestelsel, de versnelling die deze ondergaat is (volgens mij) zo klein dat het zeer goed te verwaarlozen is als je naar de beweging van de planeten e.d. kijkt.

 
Hoe groot die versnellingen zijn en ten opzichte waarvan ze gemeten worden weet ik niet. Het zou kunnen zijn die ze sowieso zo klein zijn dat de bijbehorende schijnkrachten verwaarloosbaar zijn. Dan zijn we heel snel klaar. Maar dat hangt af van de cijfers. Wie is daarin thuis?

[Demophilus]

Ooit heb ik eens berekend hoe de rotatie van de aarde de valversnelling voor een stilstaand object wijzigt. Dit gaat volgens de volgende formule

\(\vec{g}_\text{eff} = -g \hat{z} + R \omega^2 \cos \lambda (\sin \lambda \hat{x} + \cos \lambda \hat{z})\)

, waarbij R de straal van de aarde, omega de hoeksnelheid van de aarde en lambda de breedtegraad.
 
In België bijvoorbeeld is de breedtegraad ongeveer 50 graden, dan zien we dat 

\( R \omega^2 \cos^2 \lambda \approx 0.014 \)

In vergelijking met de effectieve waarde van de valversnelling in deze omstreken, namelijk 9.81, is dit toch niet niks. Bij precieze metingen van massa's wordt dan ook zeker rekening gehouden met dit effect.
 
Dus hier op onze aardbol al zijn die effecten niet altijd even verwaarloosbaar.
 

[Professor Puntje]

@ Demophilus
 
Dank. De rotatie van de aarde heeft inderdaad meetbare effecten. Heb je ook gegevens over de versnelling van het massamiddelpunt van ons zonnestelsel? 

[Michel Uphoff]

De versnelling van het massacentrum van het zonnestelsel?
T.o.v. waarvan zou je deze willen meten?

[Professor Puntje]

De versnelling van het massacentrum van het zonnestelsel?

Inderdaad.

 

T.o.v. waarvan zou je deze willen meten?

 
Dat vroeg ik mij ook al af. Voor Newton was het duidelijk: ten opzichte van de absolute ruimte. Maar wat moeten we daar na Einsteins ART nog mee? Willen we Newtons absolute ruimte - althans lokaal - nog enige zin geven dan lijkt mij de meest voor de hand liggende optie om daar de CMB rest frame voor te kiezen. Maar of dat lokaal bij goede benadering inderdaad een inertiaalstelsel is weet ik niet. Dat zou wel zo moeten zijn willen we langs deze neonewtoniaanse weg verder kunnen redeneren.
 
Als bovenstaande niet gaat kunnen we het gewoon bij mijn eerdere redenering over een vrij vallend referentiestelsel houden waarin lokaal bij benadering F = m.a kan worden gebruikt.

[Emveedee]

Maar waarop oefent het kogeltje - opnieuw gezien vanuit de auto - dan een reactie-schijnkracht uit? 

 
Ah, daar had ik inderdaad niet bij stilgestaan. Het lijkt mij dat omdat schijnkrachten geen echte krachten zijn, dat de 3e wet daarvoor inderdaad niet opgaat. Voor 'echte' krachten uiteraard wel.
 
De versnelling van het massamiddelpunt lijkt me inderdaad ten opzichte van het centrum van het melkwegstelsel, en evt de rotatie van het melkwegstelsel zelf nog meegenomen.

[Professor Puntje]

Een speciaal geval doet zich voor wanneer we lokaal rondom een waarnemer w een referentiestelsel R beschouwen dat in een globaal gravitatieveld g dat door het omringende universum wordt opgewekt in "vrije val" verkeert. In dit stelsel valt waarnemer w tezamen met zijn referentiestelsel R met dezelfde versnelling a = g als alle andere voorwerpen waarop geen andere krachten dan de gravitationele invloed van het omringende heelal werken.

 

1. Voor waarnemer w is het dus net alsof in R aan de eerste wet van Newton is voldaan zolang hij de gravitationele invloed van het omringende heelal maar op nul stelt.

 

2. Laat F_g de gravitatiekracht zijn die door het omringende heelal op een massa m wordt uitgeoefend en laat F_r de resultante van alle andere krachten zijn die op massa m werken. Dan geldt voor de versnelling a_u die de massa m ondergaat:

F_g + F_r = m.a_u

m.g + F_r = m.a_u
F_r = m.a_u - m.g
F_r = m.(a_u - g) .

 

Voor de versnelling a_r van de massa m bezien vanuit R geldt:

 
a_r = a_u - g .

 

Dus:

 
F_r = m.a_r .

 

Ook de tweede wet van Newton gaat daarom op in R zolang we de gravitationele invloed van het omringende heelal maar op nul stellen.

Hier heb ik impliciet al de derde wet toegepast, want F_r is een resultante van allelei krachten op m waaronder ook eventuele reactiekrachten. Maar interacties met het omringende universum zijn daarin niet meegenomen. Daarom is een strikt onderscheid gemaakt tussen F_g en F_r . Om binnen R de tweede wet te kunnen gebruiken moeten we enkel F_r in rekening brengen, en F_g (en daarmee alle interacties met het omringende universum) weg denken. De interacties met het omringende universum verdwijnen zo uit beeld en kunnen langs deze weg dus ook niet juist berekend worden. Zolang dat laatste niet ons doel is, is dat ook niet erg.

 

3. Over de geldigheid of ongeldigheid van derde wet van Newton in R moet ik nog even nadenken...

 
Voor de interacties binnen R zoals die in F_r tot uitdrukking komen ben ik hierboven al van de derde wet uitgegaan, want F_r is immers de resultante van allerlei krachten op m waaronder ook eventuele reactiekrachten. Alle andere interacties met het omringende universum (uitgedrukt in F_g) laten we voor berekeningen binnen R buiten beschouwing. In die zin gaat ook de derde wet in R nog steeds op.

 

[Michel Uphoff]

1) Newton's wetten gelden niet in non-inertiaalstelsels behalve als je inertiaalkrachten introduceert en 2) Newton's wetten houden stand in het non-inertiale zonnestelsel, spreken elkaar tegen.

 

In de algemene relativiteit zijn referentieframes in vrije val zoals omloopbanen van planeten equivalent aan inertiaalframes. Dat geeft een m.i. veel eleganter beeld, met slechts twee mogelijkheden:

• Bij afwezigheid van een externe kracht wordt de geodeet (de kortste weg door de gekromde ruimtetijd) gevolgd. Hier is geen sprake van versnelling. Voorbeelden zijn vrije val, omloopbanen van planeten, eenparig rechtlijnige beweging in een vlakke ruimte, deze zijn volstrekt equivalent. Deze geodetische bewegingen leveren door het ontbreken van externe krachten geen enkele interne spanning op, wat ervaren wordt als gewichtloosheid.
• Uitoefening van een externe (elektromagnetische) kracht op het object leidt tot versnelling. Hierbij wordt afgeweken van de geodeet. De externe kracht kan bijvoorbeeld geleverd worden door de Aardboden, de vloer van de versnellende raket of het touw waarmee de kogel wordt rondgeslingerd. In deze situaties treedt er altijd een interne spanning op, wat ervaren wordt als gewicht.

De zwaartekracht is in de art geen kracht, maar een geometrisch effect ten gevolge van de door massa veroorzaakte kromming van ruimte en tijd.

 

Maar ook Newtoniaans zie ik jouw tegenstelling niet. Newton's wetten gelden wel in inertiaalstelsels, maar vereisen dan die inertiaal (schijn) krachten. Zoals Bartjes schreef:
 

Wel kan men in de andere stelsels met f = m.a blijven werken wanneer men voor f de vectoriële som van alle echte krachten en alle bij de beweging van het stelsel behorende schijnkrachten neemt.

 

Dat vereisen ze ook in het zonnestelsel. De zwaartekracht is de centripetale kracht tussen bijvoorbeeld Zon en Aarde. Roteer ik vanuit het massacentrum Zon-Aarde mee met de Aarde, dan meet ik een grote kracht die de Aarde naar de Zon wil trekken, en heb dus de tegengestelde centrifugale schijnkracht nodig om te verklaren waarom de Aarde niet naar de Zon valt.