Tensorvraag over oppervlak

[Professor Puntje]

Onderstaande plaatje riep een vraag op:
 

pfour 504 keer bekeken

 
Bron: http://facstaff.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/pcell/pfour.8.gif
 
Kunnen lokale "vloeiende" deformaties in een dergelijk oppervlak door middel van een metrische tensor gerepresenteerd en (gegeven bepaalde veronderstelde tensorwetten voor de evolutie van deformaties) berekend worden? 
 

[317070]

Ja, je moet een stelsel opstellen die het oppervlak beschrijft. Vervolgens de Laplace-equation van je oppervlak oplossen voor een kleine deformatie: https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Mathematics_for_Engineers_and_Scientists/The_Laplacian_and_Laplace%27s_Equation
 
Mogelijk: ja, maar het is een kleine nachtmerrie volgens mij. Voorbeelden voor 1D-problemen zijn er genoeg te vinden op het internet: http://matlab.cheme.cmu.edu/tag/heat-transfer/
 
Wat het met tensoren te maken heeft, weet ik wel niet goed.

[Professor Puntje]

Dan zal het voor mij zeker te ingewikkeld worden. Misschien vormt de volgende boerenklompen-benadering een alternatief?
 
Bekijk een punt P op het oppervlak. Een infinitesimale omgeving van P op basis van het in het plaatje aangegeven coördinatenstelsel is dan een (onregelmatige) vierhoek. Lokale deformaties in dat oppervlak kunnen dan worden gekenmerkt door:
 
1. Het verschil in vorm tussen de gedeformeerde infinitesimale vierhoek waar P in ligt en die vierhoek in ongedeformeerde toestand.
 
2. De verhouding van de oppervlakten van de gedeformeerde infinitesimale vierhoek waar P in ligt en die vierhoek in ongedeformeerde toestand.
 
Klopt dit?

[Professor Puntje]

Zou die verandering van de infinitesimale vierhoek bij een lokale deformatie ook door een matrix kunnen worden weergegeven? 

[Professor Puntje]

infinitesimale-vierhoeken 504 keer bekeken

 
Ziehier de infinitesimale vierhoeken rond het punt P op het oppervlak. Vóór de lokale deformatie hebben we de vierhoek ABCD en ná de lokale deformatie de vierhoek A'B'C'D'. Als ik het goed heb wordt de lokale deformatie rond P dan volkomen beschreven door de vier verhoudingen: A'B'/AB, B'C'/BC, C'D'/CD, D'A'/DA .

[Professor Puntje]

Omdat de infinitesimale vierhoek ABCD (A'B'C'D') wordt omringd door vier aangrenzende infinitesimale vierhoeken die elk één zijde met ABCD (A'B'C'D') delen moeten daar differentiaalvergelijkingen uit te destilleren zijn. Die vergelijkingen garanderen dan dat het vlak bij deformatie niet uit elkaar scheurt.