Product van twee negatieve getallen

[Vinnie Terranova]

Hoe kun je bewijzen dat het product van twee negatieve getallen altijd positief is? Het enige wat ik hierover kan bedenken is door het aannemelijk te maken met bijvoorbeeld een rijtje als:
 
3 x -3 = -9
2 x -3 = -6
1 x -3 = -3
0 x -3 = 0
 
-1 x -3 = ... als je de regelmaat in bovenstaande antwoorden herkent, weet je dat het antwoord moet zijn: 3
-2 x -3 = 6
enz...
 
Is er een andere manier om duidelijker te laten zien (of nog liever: waarmee je kunt bewijzen) dat het product van twee negatieve getallen altijd positief is?
 
En een tweede vraag: kun je een realistische context bedenken bij een opgave als -2 x -3 = 6? Ik kom er niet uit. Bij een opgave als 2 x -3 = -6 kan ik nog wel iets bedenken, bijvoorbeeld: Het is -3 graden. Het wordt twee keer zo koud. Wat is de nieuwe temperatuur?
Maar bij een opgave als -2 x -3 = 6 kan ik  geen enkel zinnige context bedenken...

[Professor Puntje]

Wat het product van twee negatieve getallen is wordt bepaald door de gekozen definitie van negatieve getallen en hun bewerkingen. Welke definitie er wordt gekozen wordt weer bepaald door wat er handig en/of elegant wordt gevonden.
 
Niemand verbiedt het je om een andere definitie te onderzoeken en uit te werken. Er is daar zelfs een boek over geschreven:
 
http://www.amazon.com/Negative-Math-Mathematical-Rules-Positively/dp/0691123098/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1452377374&sr=8-1&keywords=negative+math
 
En ik meen mij te herinneren dat we in een grijs verleden ook hier op het Wetenschapsforum iets dergelijks beproefd hebben.

En een tweede vraag: kun je een realistische context bedenken bij een opgave als -2 x -3 = 6? Ik kom er niet uit. Bij een opgave als 2 x -3 = -6 kan ik nog wel iets bedenken, bijvoorbeeld: Het is -3 graden. Het wordt twee keer zo koud. Wat is de nieuwe temperatuur?
Maar bij een opgave als -2 x -3 = 6 kan ik  geen enkel zinnige context bedenken...

 
Probeer wat natuurkundige formules uit waarin een product voorkomt....

[Professor Puntje]

Voorbeeld:
 
s = v.t
 
Bij positieve snelheid v en tijd t is ook de positie s positief.
 
Nu keren we de snelheid v om, die wordt dan negatief. Bij een positieve tijd t is de positie s dan negatief, dat wil zeggen in de negatieve richting.
 
Maar wanneer we zowel de snelheid v omkeren als een tijdstip t vóór t=0 bekijken (dus v en t negatief nemen) dan wordt de positie s weer positief. En dat is ook zoals het natuurkundig moet zijn!

[mathfreak]

Bedenk eens dat -a = -1∙a.

[Safe]

Ben je didactisch of theoretisch bezig ...

[Vinnie Terranova]

Ben je didactisch of theoretisch bezig ...

Didactisch... zeg maar het niveau van brugklas mavo, havo, vwo.

[jkien]

Negatief x negatief = niet positief x niet positief = niet niet positief = wel positief.

Laat ze een tekening maken van een verhaaltje met dubbele ontkenningen. Een kabouter zat niet binnen maar niet niet in de tuin voor zijn huis met het niet rode dak. Zijn niet niet blauwe muts was hij vanmorgen niet vergeten op te zetten. Naast zijn huis stond niet geen boom, en hij genoot niet zonder glimlach van alles wat hem niet ontbrak.

[Vinnie Terranova]

Hmmm... dubbele ontkenningen vind ik een erg interessante optie; daar ga ik eens goed over nadenken.
 
Verder heb ik ook wel aan natuurkundige formules zitten denken, maar voor brugklassers is dat echt nog een stap te ver.
 
Met -a = -1∙a kan ik niet zo veel, omdat je dan het probleem verplaatst.

[Professor Puntje]

Echte bewijzen zijn op schoolniveau onhaalbaar. Bovendien is het uiteindelijke een keuze hoe je het product van twee negatieve getallen definieert. Hoogstens kun je aan voorbeelden laten zien dat -*- = + in de praktijk de bruikbaarste resultaten geeft. In de literatuur over het wiskunde-onderwijs zal wel het een en ander aan voorbeelden te vinden zijn.

[jkien]

-a = -1∙a komt overeen met negatief = niet positief.

Leerlingen kunnen ook onderling met eigen niet-niet verhaaltjes oefenen, en ze kunnen het thuis oefenen met broertjes, zusjes en ouders. Na alle oefeningen weet je tenminste wie er dyslectisch is.

[Safe]

Jouw methode met de rijtjes is didactisch uitstekend, 'hou dat erin' ...
 
Bewijzen is op dit niveau 'niet aan de orde'
 
Praktische vb zijn niet mogelijk omdat de operatie vermenigvuldigen van toepassing is op getallen ...
Je moet dit ook niet verwarren met de dubbele ontkenning!
 
Je kan proberen vermenigvuldigen van getallen in beeld te brengen met de getallenlijn maar je bent dan binnen de kortste keren de aandacht en de concentratie van minstens 90% van je leerlingen kwijt.
Optellen en aftrekken gaat met de getallenlijn uitstekend.

[tempelier]

Hmmm... dubbele ontkenningen vind ik een erg interessante optie; daar ga ik eens goed over nadenken.
 
Verder heb ik ook wel aan natuurkundige formules zitten denken, maar voor brugklassers is dat echt nog een stap te ver.
 
Met -a = -1∙a kan ik niet zo veel, omdat je dan het probleem verplaatst.

Ik zou terug gaan naar je begin de tabel methode.
 
Maar breidt hem sterk uit.
 
Begin met de tafel van 1:
 
5*1=5
4*1=4
3*1=3
2*1=1
1*1=0
 
Wijs hier op de regelmatigheden.
Voeg vervolgens de tafel van 2 en 3 toe of nog een paar meer.
 
5*1=5 , 5*2=10 ,5*3=15
4*1=4 , 4*2= 8 , 4*3=12
3*1=3 , 3*2= 6 , 3*3=  9
2*1=2 , 2*2= 4 , 2*3=  6
1*1=1 , 1*2= 2 , 1*3=  3
0*1=0 , 0*2= 0 , 0*3=  0
 
Wijs hier op de regelmaat zowel horizontaal en verticaal.
Voeg dan er voor de tafel van 0 toe en wijs er op dat de regelmaat blijft.
 
Zet er voor de tafel van -1 en haal de antwoorden uit de horizontale regelmatigheid.
Doet dit ook met de tafel van -2
 
Breidt nu de tafels horizontaal uit met de vermenigvuldiger -1.
(misschien daar weer onder die met vermenigvuldiger -2)
 
Vindt de uitkomsten door de verticale regelmatigheid.
 
Alles staat er nu +*+=+ , +*-=- , -*+=- , -*-=+
 
Leg uit dat er zo is gekozen dat de regelmaat blijft.
 
===========================
 
PS.
Voor wat gevorderden kun je vermelden dat er zo is gekozen opdat de (reële) getallen de lichaams-eigenschappen behouden.
 
Ik dacht dat als je kiest voor -*-=- dat je dan de commutativiteit moet offeren , maar dat weet ik niet zeker.

[Professor Puntje]

Praktische vb zijn niet mogelijk omdat de operatie vermenigvuldigen van toepassing is op getallen ...

 
Uh...? In berichtje #3 heb ik al een voorbeeld gegeven. Als de operatie vermenigvuldigen alleen van toepassing zou zijn op (zuivere) getallen kunnen we de natuurkunde wel opdoeken.

[Professor Puntje]

Hier staan nog wat redenen waarom -*- = + een handige keuze is:
 
http://www.walkingrandomly.com/?p=1670

[Safe]

Voorbeeld:
 
s = v.t
 
Bij positieve snelheid v en tijd t is ook de positie s positief.
 
Nu keren we de snelheid v om, die wordt dan negatief. Bij een positieve tijd t is de positie s dan negatief, dat wil zeggen in de negatieve richting.
 
Maar wanneer we zowel de snelheid v omkeren als een tijdstip t vóór t=0 bekijken (dus v en t negatief nemen) dan wordt de positie s weer positief. En dat is ook zoals het natuurkundig moet zijn!

 
Probeer je eens voor te stellen hoe je dit vb aan een brugklasser moet uitleggen ...
 
 
 
Misschien is het nuttig het volgende vb te analyseren: (7-3)(5-2)= ...
 
In feite ligt dit ten grondslag aan het bewijs!