Kromming Ruimte-tijd in sterk zwaartekrachtveld berekenen?

[anusthesist]

Misschien een hele gekke vraag, maar kun je berekenen hoe sterk de zwaartekracht moet zijn zodat de ruimtetijd zo sterk gekromd is, dat je een soort gefagocyteerd stuk ruimte-tijd krijgt; één die dus los is 'geknepen' van de ruimte tijd om het zwaartekrachteveld heen?

Je zou denken dat het met de Einstein field equation voor zwaartekracht zou moeten lukken, die zegt immers hoe de ruimte-tijd reageert op zwaartekracht, op een numerieke wijze, alleen weet ik niet waar te beginnen.

En hierop aansluitend; als het mogelijk is en misschien zelfs normaal is rondom c.q. in zwarte gaten hoe is het mogelijk dat je bijvoorbeeld in een zwart gat kan vallen als het eigenlijk een eilandje ruimte-tijd is? Ik vind dat vrij contra-intuïtief. Iedereen zegt altijd doodleuk; je valt in een zwart gat (even de firewall-discussie daargelaten), en bij de singulariteit ga je dood. Maar is het enerzijds dus wel mogelijk überhaupt de singulariteit te bereiken als het een stuk ruimte-tijd is die niet in verbinding staat met jouw ruimtetijd en anderzijds, bij een groot genoeg zwart gat, zou je door de geringere tidal forces, uiteindelijk toch zo'n grote tijddilatatie krijgen, dat je de singulariteit gewoon nooit bereikt (asymptotisch naderen van de singulariteit)?

Iemand die me hier meer over kan vertellen?

[Michel Uphoff]

Gefagocyteerd, creatieve term! Ik neem dus aan dat je bedoelt bij welke massa en afstand een stuk ruimte zich volkomen sluit, zich 'loswerkt' van het heelal.

 

Eigenlijk is het met eenvoudiger klassieke natuurkunde te berekenen. Waar het om gaat is de Schwarzschildstraal (klik). Dat is de afstand tot een puntmassa waarbij de ontsnappingssnelheid gelijk is aan die van de lichtsnelheid. De klassieke afleiding kan je bijvoorbeeld als volgt doen:

Het gravitatiepotentiaal E_p aan het oppervlak van een bol is  -G.m.M/r (klik)

De formule voor kinetische energie E_k= ½ m.v² 
E_p en E_k zijn even groot (de ontsnappingssnelheid wordt precies gehaald), er geldt dus: ½ m.v² =  G.m.M/r

Aangezien we geïnteresseerd zijn in de straal van de bol met massa M die nodig is om de ontsnappingssnelheid aan het oppervlak gelijk te laten zijn aan de lichtsnelheid, en massa m van het voorwerp tegen elkaar weggestreept kan worden bouwen we wat om: ½ c² = GM/r_s    >>   r_s = 2GM/c²
Berekenen we deze straal voor bijvoorbeeld een massa ter grootte van die van de Aarde (5,97.10²⁴kg) dan komt daar een straal uit van ongeveer 8,86 millimeter. En voor het superzware black hole in het centrum van de Melkweg (4,31.10⁶ zonmassa's) vinden we een straal van ruwweg 12.700.000 kilometer.
 

hoe is het mogelijk dat je bijvoorbeeld in een zwart gat kan vallen als het eigenlijk een eilandje ruimte-tijd is?

 
Goede vraag. Het hangt van het waarnemersperspectief af. Wij als buitenstaanders zullen nooit iemand in een zwart gat kunnen zien verdwijnen. We zien de persoon vallen, steeds sneller, steeds roder wordend, en met een steeds langzamer lopende klok. Op de Schwarschildstraal (de waarnemingshorizon) staat voor ons als waarnemers de klok van het invallende persoon stil. Als we die klok al zouden kunnen zien, want aangezien de persoon bijna de lichtsnelheid heeft, heeft het licht dat van hem naar ons vertrekt zulke grote golflengten dat het niet waarneembaar is. Maar als we dat even terzijde schuiven, dan moet de conclusie zijn dat die vallende persoon voor eeuwig op de waarnemingshorizon bevroren is, en nimmer in het black hole duikt.
 
Voor degene die het zwarte gat in valt zien de gebeurtenissen er heel anders uit. Vanuit zijn perspectief gebeurt er als hij de waarnemingshorizon (bij een fors zwarte gat, zodat de getijdenkrachten hem niet uiteen trekken) overschrijdt helemaal niets bijzonders en zijn klokje tikt zoals het altijd tikte.
 
Wat er in het zwarte gat met die persoon gebeurt zullen we nimmer waar kunnen nemen, zijn ruimtetijd is voor ons afgesloten. Maar er zijn wel hypotheses: Aangezien een black hole de gesloten kromming van de ruimtetijd is, wordt aangenomen dat ruimte en tijd in het B.H. wijzigen. De hypothese is, dat in het black hole een ruimte dimensie (de straal) tijdachtig wordt. Hij valt dan niet door de ruimte naar het centrum (de singulariteit) maar door de tijd naar zijn toekomst waarin die singulariteit ligt, samen met alles in het black hole. Wat dat betreft doet hij dan exact wat wij doen; naar de toekomst reizen. Dat maakt dan ook duidelijk dat uit het black hole vertrekken onmogelijk is, dat is dan analoog aan naar het verleden reizen.
 
Nu doemt een paradox op: Hoe kan het dat wij die persoon bevroren op de waarnemingshorizon zien en hem er nooit in zien verdwijnen, terwijl de persoon door de waarnemingshorizon valt en in ieder geval voor korte tijd (wellicht heel lang, daar wordt ook over gespeculeerd) gewoon doorleeft?
Er kunnen geen twee totaal verschillende situaties op een en dezelfde persoon betrekking hebben, dus welke waarnemer heeft gelijk, wij (hij is eeuwig op de horizon) of de vallende persoon (ik leef ten minste nog enige tijd in het B.H)?
 
Punt hierbij is dat er geen enkele positie mogelijk of zelfs denkbaar is van waaruit beide situaties te beschouwen zijn. Er is sprake van een absolute of-of situatie, volmaakt gescheiden waarnemersperspectieven in twee volmaakt gescheiden ruimtetijden en per ruimtetijd bestaat er slechts 1 waarheid.

[Professor Puntje]

Het is toch niet zo dat er met de persoon die in het BH verdwijnt verschillende dingen gebeuren (bijvoorbeeld dat wij hem in een uiteen gereten ruimteschip zien omkomen, maar dat hemzelf daarvan niets blijkt) afhankelijk van aan wie je het vraagt? Alleen krijgen wij als buitenstaanders niet meer het hele verhaal te zien. De valtijd van de avontuurlijke astronaut wordt enkel voor ons oneindig uitgerekt, zodat wat <i>daarna</i> gebeurt opnieuw voor ons voorbij de eeuwigheid ligt - of zie ik dat verkeerd?
 
Is het je bekend of er al eens iets met non-standaard analyse (waarin ook oneindig grote getallen voorkomen) is geprobeerd om aan zulke zaken te rekenen?

[Michel Uphoff]

Het is toch niet zo dat er met de persoon die in het BH verdwijnt verschillende dingen gebeuren (bijvoorbeeld dat wij hem in een uiteen gereten ruimteschip zien omkomen, maar dat hemzelf daarvan niets blijkt) afhankelijk van aan wie je het vraagt?

 

Nee, natuurlijk niet. De persoon wordt bij een klein black hole door de getijdenkrachten zichtbaar uiteen getrokken voordat hij de event horizon bereikt, in ons en zijn gemeenschappelijke heelal dus. En of het überhaupt mogelijk is dat er ook maar iets de e.h. van een realistisch black hole oversteekt zonder volkomen te desintegreren is de vraag. Een (fundamenteel) deeltje zou die oversteek wel kunnen overleven denk ik, maar voor ons voor eeuwig op de e.h. bevroren zijn.

[anusthesist]

Dank voor de uitgebreide reactie Michel!

Waar ik nog wel mee zit is hoe het kan dat je de oversteek kan maken van de ene ruimtetijd naar de andere. Intuïtief denk ik dat je dan tegen een muur van ruimte-tijd valt, of althans, meent rechtdoor te gaan terwijl je vanuit een ander perspectief de gekste paden aflegt.

Maar misschien zie ik ruimte-tijd als iets te concreet en zijn twee verschillende ruimte-tijden zo 'strak' verbonden dat het 'smooth sailing' is naar de andere.

[Michel Uphoff]

Het is ook heel lastig te visualiseren. Er wordt wel de analogie van een waterval gebruikt:
 
Varend op de rivier is het geen probleem om van de waterval weg te blijven als de stroming minder krachtiger is dan jij kan roeien. Maar naarmate de stroomversnelling krachtiger wordt, heb je steeds meer energie nodig om van de afgrond verwijderd te blijven.
 
Op het moment dat jij op je hardst roeit, maar de stroom in tegengestelde richting krachtiger is, ben je gedoemd en zal je in de nabije toekomst onvermijdelijk neerstorten. Ergens in die rivier is er dus een punt (stroomsnelheid = maximum roeisnelheid) waar je alleen voorbij wil gaan als je de dringende behoefte hebt te gaan hemelen. Op dat 'voorbij hier gaat u dood' punt is er niets bijzonders te merken, je overschrijdt er alleen een drempelwaarde die je lot bezegelt.
 
Wat leesvoer over wat er zou (kunnen) gebeuren als je in een black hole valt van Baez: klik

[anusthesist]

Ik snap de volgende passage niet (snap wel wat er gezegd wordt, maar niet waarom je dit ziet gebeuren):

If I fall into the wormhole I see the entire history of the universe outside play itself out to the end.

Hoe kan het dat ik de hele geschiedenis van het universum kan zien?

[Michel Uphoff]

De zeer speculatieve gedachte betreft de mogelijkheden van een wormgat in een Kerr black hole.
 
De gedachte is als volgt: Een roterende ster stort in tot een zwart gat, maar daarbij blijft het hoekmoment behouden, als de ster kleiner wordt gaat dus het toerental omhoog, en in plaats van een bolvormig black hole met een puntvormige singulariteit ontstaat een afgeplatte bol met een ringvormige singulariteit, de Kerr ring (klik).
 

kerr 546 keer bekeken

Schematische weergave Kerr black hole. Credit: N. Rumiano
 
Nu is het op papier mogelijk om langs de rotatie-as van het black hole recht naar binnen (dus van een pool naar het centrum) te reizen. Bij een Schwarzschild black hole kom je dan (in de toekomst) de singulariteit tegen, wat je einde betekent. Maar bij een Kerr black hole kan je via de pool door die Kerr ring de toekomst in. Er wordt gespeculeerd dat je dan in een wormgat (een Einstein-Rosen brug) terecht komt met aan de 'andere kant' het tegenovergestelde van een black hole, een white hole. Niets kan een black hole verlaten, niets kan een white hole binnentreden. Een black hole verorbert materie, een white hole braakt materie uit. Zo'n Einstein-Rosen brug zou tijdreizen mogelijk maken, zo wordt gespeculeerd; Het black hole in, door de ring om vervolgens in de toekomst in een andere ruimtetijd door het white hole te worden uitgestoten.
 
Een alternatieve methode zou er als volgt uit kunnen zien: De ergosfeer van een Kerr black hole is een gebied, buiten de event horizon, dat met extreme snelheid roteert. Alles dat in die ergosfeer terecht komt wordt door het black hole tot relativistische snelheden opgejaagd. Het superzware zwarte gat in het sterrenstelsel NGC 1365 wordt er van verdacht snelheden tot vlak bij die van het licht op te wekken. Op deze manier kan je tijdens een verblijf in de ergosfeer jouw klok beduidend trager laten lopen dan die ver van het black hole. Met een enorm krachtige aandrijving is het in theorie mogelijk de ergosfeer weer te verlaten. Het resultaat is dat jij weinig, maar het heelal veel is verouderd.
 
Zou je tijdens die reizen de gebeurtenissen om je heen kunnen waarnemen (wat zeer onwaarschijnlijk is), dan spelen deze zich in razend tempo af. Vermits je niet volledig desintegreert onder de fantastische energie die ontstaat door blauwverschuiving zoals in het stukje van Baez ook vermeld wordt. De uitspraak dat je de totale geschiedenis van het heelal, dus inclusief de totale toekomst, zou kunnen zien lijkt mij echter niet correct.
 
Maar alles wat hier staat is erg speculatief, papier is geduldig. Zo is de mathematische oplossing van een Kerr ring zeer instabiel, de minste geringste verstoring (zoals een tijdreiziger de Kerr ring nadert) zou tot ineenstorting van het wormgat leiden en de reis onmogelijk maken. Er wordt getheoretiseerd dat het mogelijk zou zijn de Einstein-Rosenbrug stabiel te maken, open te houden. Maar de fantastische hoeveelheid negatieve energie die daarvoor nodig zou zijn is waarschijnlijk voor altijd buiten bereik. En dan zijn er nog de kwantumeffecten waarmee rekening moet worden gehouden bij singulariteiten.
 
Zolang er geen vereniging is van relativiteit en kwantummechanica (met name kwantumzwaartekracht), is het m.i. een leuk verhaal maar geef ik geen stuiver voor de realiteitswaarde.