Rindler-ruimte en Hilbert-ruimte

[anusthesist]

Ik keek net een interessante lezing van prof. Bousso voor peers of collega's, dus geen populair-wetenschappelijke lezing, wat het niet alleen interessanter maakte omdat ik 90% van het gesprokene niet goed begrijp maar ook een stuk lastiger dus.

Het doel van de lezing was kort samengevat: hoe komen we van die vervloekte firewalls af? Omdat zoals een aantal van jullie wel weten dat het ten koste zou moeten gaan van 1 van de 3 pijlers van de natuurkunde: unitariteit, het equivalentieprincipe of de huidig geformuleerde kwantumveldtheorie(ën).

Eén van de te berde gebrachte principes die ik wél tracht te begrijpen is de zogenaamde Rindler space, maar ik wil hier verifiëren of ik het het bij het juiste eind heb, zodat ik zijn verhaal niet misinterpreteer. Wikipedia formuleert het -zoals gewoonlijk bij dit soort taaie materie- niet veel makkelijker.

Mag ik de Rindler space als leek als volgt definiëren:

Het kwadrant in een Minkowski-diagram tussen twee 45-graden lijnen waarbij de 45-graden lijnen overeenstemmen met het pad dat licht aflegt c.q. de lichtsnelheid (op x-as de afstand of gewoonweg 'x' en op de y-as de parameter c*t) waarin hyperbolen de tijdlijnen weergeven die asymptotisch de 45-graden lijnen naderen omdat je nooit de 45-graden lijn kunt bereiken op het pad van de hyperbool (want dat houdt in met de lichtsnelheid reizen)?

Ik snap dat het een beetje lekerige termen zijn, maar zit ik een beetje goed?

En als dit juist is, dan ben ik bereid om mezelf meer te gaan verdiepen in de zogenaamde Hilbert space want dat klinkt in die lezing nóg abstracter en van de wikipagina kan ik helemaal níets maken ;( Het enige wat ik hiervan denk te snappen is dat het een vectorruimte is met 2 of meer vectoren waarvan je het product van die vectoren bij elkaar kunt 'optellen'. Nu lees ik dat het aantal dimensies niet uitmaakt, klopt dit? En wat bepaalt de grootte van deze ruimte, de som van alle dot-products van de verschillende vectoren?

Een wat intuïtievere uitleg zou zeer gewaardeerd worden.

Alvast dank!

[Professor Puntje]

Weet je al wel wat een vectorruimte is?

[anusthesist]

Ja, die wikipagina is vrij makkelijk te begrijpen

Deze kun je vermenigvuldigen met matrices om zo je vectorruimte te 'transformeren' (weet niet of dat de juiste term is). Dus groter/kleiner maken in de x-richting en y-richting of 90 graden draaien in een tweedimensionaal vlak door op je diagonaal -1 in te vullen en de rest 0 te houden (als ik me goed herinner) etc.

[Professor Puntje]

Ik ben zelf niet thuis in hilbertruimten maar wil mij er wel in verdiepen. Ze lijken me niet veel moeilijker dan vectorruimtes.

De basiseigenschappen van vectorruimtes kun je op een zodanig abstracte manier omschrijven dat er veel meer zaken (die er op het eerste gezicht volstrekt niet op lijken) ook als "vectoren" zijn te beschouwen. (Vaak spreken we in plaats van vectorruimtes ook over lineaire ruimtes.) Dan krijg je dit:

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Definition

Die definitie kun je je het beste eerst goed eigen maken voordat je aan hilbertruimten begint.
 
 

[anusthesist]

Die pagina bedoel ik ja, die heb ik helemaal gelezen.

Maar waar ik dus af begin te haken is vanaf topologische vectorruimtes (Banach, Hilbert etc).

[Professor Puntje]

Ik zie het. Dat gaat in het Wikipedia-artikel veel te snel! Zo begrijp ik het zelf ook niet.
 
Ik zou een andere route nemen:
 
1. Lineaire ruimte
 
2. Inwendig-productruimte (heeft een extra stukje gereedschap: het inwendig product)
 
3. Prehilbertruimte (maak m.b.v. het inwendig product ook een norm)
 
4. Hilbertruimte (waarbij je aanvullende eisen aan de prehilbertruimte stelt) 

[Emveedee]

Wat voor mij ook een struikelblok was is dat een verzameling functies (evt. van meerdere variabelen) ook een vectorruimte kan zijn. Je kunt functies nl. ook optellen, vermenigvuldigen met een scalair, etc. Bijv. a( f(x) + g(x) ) = a f(x) + a g(x).
 
Zo kun je ook een inproduct definiëren:

\( \langle f(x), g(x) \rangle =\int\limits_a^b f^*(x) g(x) \, \mathrm{d}x\)

(er zijn meer manieren om een inproduct te definiëren, dit is er maar één; a en b kunnen bijv. afhangen van het domein van je functies, er kan ook een gewichtsfunctie gebruikt worden, etc. Overigens is f* de complex geconjugeerde van f.)
 
Voor zover ik mij kan herinneren is de Hilbert-ruimte de vectorruimte van (complexe) functies die "square integrable" zijn, d.w.z. de integraal

\(\int\limits_{-\infty}^{\infty} f^*(x) g(x) \, \mathrm{d}x\)

bestaat voor elke functie in de Hilbert-ruimte. Dit heeft een aantal gevolgen: het inproduct zoals hierboven gedefinieerd bestaat, en de functies kunnen genormeerd worden.
 
 
Dit is van belang voor de quantum-mechanica omdat verwachtingswaarden worden berekend d.m.v. zo'n integraal (+ een operator); het kwadraat van een golffunctie representeert immers een kansverdeling en moet dus genormeerd zijn. Volgens mij zit er verder niet echt een fysische betekenis aan, het is gewoon een (wiskundige) definitie.
 
Wat precies Rindler-space is heb ik geen kaas van gegeten, maar als ik die wikipedia lees zit daar volgens mij ook echt een natuurkundige betekenis aan vast. Ik denk dus niet dat je die twee ruimtes echt kunt vergelijken.