Tensorproduct van vectorruimten

[Professor Puntje]

Ik wil goed begrijpen wat een tensorproduct van vectorruimten wiskundig gesproken precies is. Hier staat het nodige:

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product#Tensor_product_of_vector_spaces

 

Naar ik hoop zijn hier mensen die daar alles vanaf weten (of dat net als ik willen leren) en die mij op weg willen helpen. 

 

Mijn eerste idee is om een super-eenvoudig concreet geval te bekijken, en daar de definities op toe te passen. Meer volgt in de volgende berichtjes.

[Professor Puntje]

Laat:
 
S = {A, B}
T = {C, D, E}
 
Daarmee zijn twee verzamelingen S en T gegeven. Hierbij zijn de objecten A, B, C, D, E allemaal verschillend, maar wat ze precies zijn doet hier niet ter zake.
 
Aangezien S en T een eindig aantal elementen bevatten bestaan de vrije vectorverzamelingen F(S) en F(T) over R uit alle functies van respectievelijk S en T naar R.
 
Dus zit in F(S) bijvoorbeeld:
 
f met f(A) = 0 , f(B) = -13.
f' met f'(A) = 1 , f'(B) = √3.
 
En zit in F(T) bijvoorbeeld:
 
g met g(C ) = e , g(D) = 9 , g(E) = -723
g' met g'(C ) = 2444 , g'(D) = 5 , g'(E) = 3,72393484
 
Met de gebruikelijke definities voor de optelling (k + l)(x) = k(x) + l(x) en voor de scalaire vermenigvuldiging (a.k)(x) = a . k(x) worden (F(S), + , . ) en (F(T), + , . ) vectorruimten. Deze twee vectorruimten noemen we de vrije vectorruimten over R op S respectievelijk T.
 
Klopt dit nog?

[Math-E-Mad-X]

 
Klopt dit nog?

 
als een bus

[Professor Puntje]

Mooi.
 
Als een basis van (F(S), + , . ) hebben we dan {α, β} met:
 
α(A)=1, α(B)=0
β(A)=0, β(B)=1
 
En als een basis van (F(T), + , . ) hebben we {γ, δ, ε} met:
 
γ(C )=1, γ(D)=0, γ(E)=0
δ(C )=0, δ(D)=1, δ(E)=0
ε(C )=0, ε(D)=0, ε(E)=1
 
Alle elementen van F(S) kunnen we nu op een eenduidige manier in de vorm aα + bβ schijven; en alle elementen van F(T) op een eenduidige manier in de vorm cγ  + dδ + eε .

[Emveedee]

Tensoren zijn voor mij ook nog altijd een beetje een raadsel, dus ik vind het interessant om dit topic te volgen.
 
 

[...] de vrije vectorverzamelingen F(S) en F(T) over R uit alle functies van respectievelijk S en T naar R.

Wat bedoel je precies met F(S) en F(T) over R? Daarnaast, F(S) en F(T) zijn verschillende vectorverzamelingen, toch? Is er een reden dat ze allebei F heten, of had de ander ook G mogen heten?

[Professor Puntje]

Tensoren zijn voor mij ook nog altijd een beetje een raadsel, dus ik vind het interessant om dit topic te volgen.

Heel mooi. Het is voor mij altijd een aansporing om ergens met meerdere mensen aan te werken.

 

Wat bedoel je precies met F(S) en F(T) over R? Daarnaast, F(S) en F(T) zijn verschillende vectorverzamelingen, toch? Is er een reden dat ze allebei F heten, of had de ander ook G mogen heten?

 
Een vectorruimte wordt steeds genomen over een bepaald lichaam (waaruit de scalairen betrokken worden), hier gebruik ik de verzameling R van de reële getallen. Verder vermoed ik dat de "F" in F(S) van free komt, het gaat immers om de 'free vector space F(S) on some set S'. Dus de uitdrukking F( ) is op zich nog geen vectorverzameling, je moet er eerst nog als argument een verzameling zoals S of T in stoppen die dan als uitgangspunt dient voor de constructie van de vrije vectoren. Dus geeft "F(S)" de verzameling vrije vectoren aan die uit S geconstrueerd is, en geeft "F(T)" de verzameling vrije vectoren aan die uit T geconstrueerd is. De keuze van R als te gebruiken lichaam bepaalt bovendien het codomein van de vrije vectoren uit F(S) en F(T).

[Emveedee]

Als ik het goed begrijp, zeg je daarmee dus dat de elementen A t/m E in R zitten? (Of algemener, dat de elementen van elke verzameling die je in F stopt, in R moeten zitten.)

[Professor Puntje]

Als ik het goed begrijp, zeg je daarmee dus dat de elementen A t/m E in R zitten? (Of algemener, dat de elementen van elke verzameling die je in F stopt, in R moeten zitten.)

 
Nee - dat klopt niet. De verzameling S (of T) is een willekeurige niet-lege verzameling. De vraag is nu hoe je daar vectoren van kunt maken. De oplossing is even simpel als verrassend: de vectoren zijn de functies van S naar R. Geniaal! Jammer dat ik het zelf niet bedacht heb.   

[Emveedee]

Ik denk dat het kwartje gevallen is. Als je zou zeggen dat F(S) over C is, dan zou dat dus de verzameling zijn van alle functies van S naar C.

[Professor Puntje]

Ik denk dat het kwartje gevallen is. Als je zou zeggen dat F(S) over C is, dan zou dat dus de verzameling zijn van alle functies van S naar C.

 
Precies! Ik weet zo niet wat dat verderop in de theorie zou uitmaken, maar dat is wel het idee.
 
Begrijp je nu ook de basisvectoren?

[Emveedee]

Die basisvectoren zijn duidelijk ja.
 
Geldt die definitie ook als S niet een eindig aantal elementen zou bevatten, bijv S = {R}? Ik zie zelf niet zo snel in waarom niet...

[Professor Puntje]

Die basisvectoren zijn duidelijk ja.
 
Geldt die definitie ook als S niet een eindig aantal elementen zou bevatten, bijv S = {R}? Ik zie zelf niet zo snel in waarom niet...

 
Ik neem aan dat je bedoelt: S = R.    In dat geval heb je te maken met de volgende beperking (bron: Wikipedia):
 

By definition, <i>F</i>(<i>S</i>) is the set of all functions <i>g</i> from <i>S</i> to a given field <i>K</i> that have finite support; i.e., <i>g</i> is identically zero outside some finite subset of <i>S</i>.

[Professor Puntje]

Het lastige is dat er op de Wikipedia nu twee manieren worden beschreven om het tensorproduct van vectorruimten te vinden:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product#Definition
 
Levert dat isomorfe objecten op?

[Professor Puntje]

Volgens de eerste definitie hebben we:
 

\( F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{T}) = F(\mbox{S} \times \mbox{T}) \)

 

\( F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{T}) = F(\{(A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E) \}) \)

 
Dat levert tezamen met de voor functies gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging over R de vectorruimte (F({(A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E)}) , + , . ) op.
 
 
Schrijven we bovendien (voorlopig) voor vectoren (<b>uv</b>)((x,y)) = <b>u</b>(x) . <b>v</b>(y), dan vinden we als een bij de bovenstaande vectorruimte behorend stelsel basisvectoren: {αγ , αδ , αε , βγ , βδ , βε}.
 
Alle vectoren uit de bovenstaande vectorruimte zijn dus op eenduidige wijze te schrijven in de vorm:
 
z₁αγ + z₂αδ + z₃αε + z₄βγ + z₅βδ + z₆βε  (met de z_i reële getallen).

[Professor Puntje]

Voor de definitie van tensoren via het tensorproduct hebben we nog duale vectorruimten nodig:
 

dual-space 833 keer bekeken

 
Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space#Algebraic_dual_space