Meetkundige multipliciteit

[Zelda Zeegers]

Ik ben aan het leren voor een tentamen lineaire algebra. We moeten de bepalen of een bepaalde matrix diagonaliseerbaar is aan de hand van de multipliciteit. Ik weet dat hij diagonaliseerbaar is wanneer de algebraïsche en meetkundige multipliciteit gelijk zijn maar ik vind het soms nog een beetje lastig te bepalen wat de meetkundige multipliciteit is. Is dat gelijk aan het aantal eigenwaardes of aan het aantal eigenvectoren?
 
 
De matrix
 
 
A = -3   2   1
 
       1  -2   1
 
       1   2  -3
 
 
geeft een algebraïsche multipliciteit van 3. (de karakteristieke polynoom is een derdegraads) en heeft eigenwaardes 0 en -4. 0 geeft een eigenvector van (1,1,1) maar ik twijfel bij -4 omdat na invullen van de eigenwaarde blijkt dat y en z vrij zijn.
 
 
 1  2  1      x        0
 
(1  2  1 )  (y)  =  (0) .
 
 1  2  1      z        0
 
 
geeft eigenvectoren (-1,0,1),(-2,1,0). Betekent dit nou dat de eigenruimte wel driedimensionaal is en de meetkundige multipliciteit ook 3?

[Th.B]

Wat je moet beseffen is dat die multipliciteiten begrippen zijn die gebruikt worden voor een specifieke eigenwaarde. Je spreekt dus niet over de 'multipliciteit van de matrix A' maar over 'de multipliciteit van de eigenwaarde 1'. Ik neem even die eigenwaarde als voorbeeld. De algebraïsche multipliciteit is dus het aantal keer dat het een nulpunt is van de karakteristieke polynoom, in dit geval zeg je dus: de algebraïsche multipliciteit van de eigenwaarde 1 is gelijk aan 1. De meetkundige multipliciteit is ook 1 in dit geval. Bij eigenwaarde 4 zijn de beide multipliciteiten gelijk aan 2 (ga dat zelf na voor zover je dat nog niet begreep).
 
De stelling die jij dus bedoelt, moet je als volgt formuleren: een matrix is diagonaliseerbaar als voor alle eigenwaarden geldt dat de algebraïsche multipliciteit gelijk is aan de meetkundige multipliciteit.

[Zelda Zeegers]

Ah dank je wel! Ik snap het nu.