totale hoeveelheid vervallen deeltjes

[Jan van de Velde]

Een stralingsbron heeft nu een activiteit van 7,75 MBq (dus elke seconde vervallen er 7 750 000 deeltjes)
de halveringstijd bedraagt 76 minuten.
de proef duurt 3 uur. 
 
ik kan prima berekenen wat er na 3 uur aan activiteit over is, 
 
A(t) = A(0) · 0,5^(180/76)= 1,5 MBq
 
maar door deze exponentiële functie te integreren over de tijd van 0 tot 180 minuten (of mogelijk beter van 0 tot 10800 s ivm die definitie van die becquerel) ) moet te berekenen zijn hoeveel deeltjes er in die drie uur in totaal vervallen zijn. 
Ik mis de wiskunde hiervoor, en heb al helemaal geen tijd dit uit te gaan zoeken. Ik kan het wel via een excelbestandje gaan benaderen, maar hier moet haast wel een fatsoenlijke formule voor zijn te maken, met de variabelen beginactiviteit, halveringstijd en tijdsduur,  voor wie die wiskunde beheerst? 
Help eens even aub? 

[Pinokkio]

Ik heb geen trek in LaTex dus ik heb het maar even op een stukje papier gedaan Ik hoop dat het duidelijk is:
 

Integraal deeltjesverval 387 keer bekeken

 
t = tijd, s
T = halfwaardetijd, s
 
Ln = natuurlijke logaritme
 
In jouw voorbeeld volgt hieruit dat er in 3 uur tijd 41111 miljoen deeltjes vervallen zijn.

[Jan van de Velde]

met een schatting op basis van een benadering met lineair verval per halveringsperiode kwam ik op de sigarendoos ergens in de buurt van de 43 000 miljoen deeltjes. Dat moet wat te hoog zijn vanwege de lineariteit, dus die 41 111 miljoen deeltjes uit jouw uitgewerkte integraal zijn ongetwijfeld bang-on.
 
Hartstikke bedankt 

respect161 384 keer bekeken

 

\(N_{(0-t)}=\frac{\tau\cdot A(0)}{\ln (0,5)}\left ( 0,5^{\frac{t}{\tau}}-1 \right )\)

 

CodeCogsEqn (2) 384 keer bekeken

[Pinokkio]

Ik had het resultaat van de formule eerst al gechecked met een reeks tijdstapjes in een spreadsheet en dan de hoeveelheid deeltjes van alle tijdstappen gesommeerd, wat (natuurlijk) exact hetzelfde resultaat oplevert.
 
Overigens moet je oppassen met het gebruik van de Griekse letter τ (tau), want strikt genomen verwijst die normaliter naar de vervaltijd, niet de halfwaardetijd (halveringstijd).
Vervaltijd is tijd waarna er nog fractie 1/e over is van oorspronkelijke (i.p.v. 1/2 bij halfwaardetijd).
 
Ik weet niet wat je van plan bent met die formule, maar als je die aan anderen doorgeeft zou dat een misverstand kunnen veroorzaken.
 
Ik gebruikte hierboven voor halfwaardetijd de gewone hoofdletter T om het simpel en vooral leesbaar te houden, maar eigenlijk had ik T_½ of t_½ moeten schrijven.
 
Dus voor de volledigheid:
 
T_½  = τ • ln 2  oftewel: τ = T_½ / ln 2
 
En dan is: A(t) = A(0) • 0,5^t/T_½  = A(0) • e^-t/τ
 
De formule voor het totaal aantal vervallen deeltjes na tijd t:
 
N_(0-t) = (T_½ • A(0) / ln(0,5)) • (0,5^t/T_½ - 1) = τ • A(0) • (1 - e^-t/τ)
 
 
 
EDIT: ik vind het zeer storend dat de Griekse letters in het menu van WSF vaak zo primitief gevormd zijn. Daarom had ik hier in eerste instantie een mooie duidelijke tau van het internet gekopieerd en die in mijn tekst gebruikt. Echter: na plaatsen van het bericht bleek die nergens meer te staan en moest ik die onduidelijke tau uit het WSF-menu toch nog gebruiken.

[Professor Puntje]

EDIT: ik vind het zeer storend dat de Griekse letters in het menu van WSF vaak zo primitief gevormd zijn. Daarom had ik hier in eerste instantie een mooie duidelijke tau van het internet gekopieerd en die in mijn tekst gebruikt. Echter: na plaatsen van het bericht bleek die nergens meer te staan en moest ik die onduidelijke tau uit het WSF-menu toch nog gebruiken.

 
De

\( \tau \)

is inderdaad mooier, maar helaas worden zinnen met daarin opgenomen LaTeX-symbolen raar afgebroken.