Volume beredeneren van een kegel

[anusthesist]

Ik was zostraks wat aan het lezen over de origine van 'calculus' toen ik op een wiki-artikel stuitte dat de uitputtingsmethode noemt van Euclidus inzake het bepalen van het volume van een kegel:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Method_of_exhaustion

Onder propositie 10 lees ik het volgende:

''The volume of a cone is a third of the volume of the corresponding cylinder which has the same base and height''

Nu was ik benieuwd of ik het zelf kon 'bewijzen' of althans redeneren, want als ik kijk in het wiki-artikel over 'de kegel' dan gooien ze mij allemaal integralen om de oren en de eerlijkheid gebiedt te zeggen: dat is nooit mijn sterkste punt geweest.

Dus ik ging even nadenken en kwam met het volgende:

1) Een kegel kun je beschouwen als allemaal driehoeken naast elkaar totdat ze een volledige cirkel hebben afgelegd.

2) De oppervlakte van een driehoek = (lengte L * breedte B)/2 = A_driehoek

3) De omtrek van een cirkel, uitgedrukt in radialen = 2π

4) Als je dit combineert krijg je voor het volume van een kegel 2π(LB/2).

5) De 2'en strepen we tegen elkaar weg dus vereenvoudigd krijgen we π*L*B = volume kegel

Als ik dit verifiëer is het -tot mijn grote verbazing eerlijk gezegd - inderdaad 1/3 * volume van een cilinder, want het is vrij simpel. Maar nu komt de twijfel, is dit niet té simpel, omdat ze het over integralen hebben op wiki ed.

Het antwoord moge wel goed zijn, maar is de gedachtegang ook goed?

Bij voorbaat dank!

-edit- nee dus...shoot!

Het werkt blijkbaar alleen met een driehoek met rechte zijdes 3 en 4 met schuine zijde 5.

Dan is mijn vraag: waarom werkt het wél voor deze maten maar niet voor andere?

Mijn extra dank!

[anusthesist]

Inhoud verwijderd...klopte niet ;(

[anusthesist]

Hmmm...het klopt wél als je corrigeert met een factor r/3, ofwel volgens mij zit ik nu aardig dichtbij 'een bewijs' zonder integralen te gebruiken.

Voorbeeld 1:

Volume cilinder met straal 5 en hoogte 6 = 5^2*pi*6 = 471.24

Volgens de vuistregel delen door 3 levert op = 157.08

Of:

Volume kegel = r*h*pi*(r/3) = 5*6*pi*(5/3) = 157.08

Voorbeeld 2:

Volume cilinder met straal 4 en hoogte 7 = 4^2*pi*7 = 351.86

Volgens de vuistregel delen door 3 = 117.29

Of:

Volume kegel = r*h*pi*(r/3) = 4*7*pi*(4/3) = 117.29

Deze formule kun je dus vereenvoudigen tot: (r^2*h*pi)/3 = volume kegel

Daarom werkte dat voorbeeld met straal 3 natuurlijk, want je 'corrigeert' met 3/3 = 1, ofwel alleen voor kegels met een straal van 3 geldt: r*h*pi = volume kegel.

Joepie! Maar kan iemand dit verifiëren?

[Emveedee]

Tsja, die factor 1/3 komt nogal uit de lucht vallen, dus een 'bewijs' zou ik het niet zo willen noemen. 

 

De formule V = 1/3 bh, met b het oppervlak van de basis is zelfs geldig voor elke pyramide, ongeacht de vorm van de basis of zelfs de positie van de top van de pyramide. Die mag dus ook naast de basis liggen! Het enige wat er toe doet is de hoogte vanaf het grondvlak. Hier wordt aardig uitgelegd waarom, zie het stukje (Before we proceed with finding the volume .... infinitesimally thin) en figuur 2 (van die hyperpyramides gaat het mij verder ook duizelen.... )
 
Voor een n-hoekige vorm is het nog wel te doen om deze op te delen in een aantal driehoekige pyramiden en daarmee het volume af te leiden, maar als je een cirkel (of andere willekeurige vorm) als grondvlak hebt, wordt dat aantal al snel oneindig en dan heb je zo een integraal te pakken. Gelukkig valt deze integraal behoorlijk mee:
 
We weten dat het oppervlak van de basis gelijk is aan b, en de hoogte van de pyramide is h. De afstand vanaf de basis noemen we y. De afmetingen van een doorsnede (breedte, diepte) schalen lineair met de hoogte:

\(\frac{h-y}{h}.\)

De oppervlakte schaalt met het kwadraat hiervan. We nemen dus een integraal van 0 tot h van het oppervlak maal de schaling over dy:

\(V = \int\limits_0^h b \left(\frac{h-y}{h}\right)^2 \mathrm{d}y =\frac{b}{h^2}\int\limits_0^h \left(h-y\right)^2 \mathrm{d}y\)

Dit kwadraat kunnen we uitschrijven, en dan blijft er een simpele integraal over:

\(V = \frac{b}{h^2}\int\limits_0^h \left(y^2-2hy+h^2\right)\mathrm{d}y\)

Neem de primitieve:

\(V = \frac{b}{h^2}\left\left[ \frac1{3}y^3-hy^2+h^2y\right]\right|\limits_{y=0}^{y=h} \)

Uiteindelijk vallen er een hoop termen weg en blijf je over met onze formule:

\(V=\frac{b}{h^2}\left[\frac1{3}h^3 - h^3 + h^3 -(0-0+0)\right] =\frac1{3} b h\)

 
Voila!

[anusthesist]

Je hebt gelijk dat die factor 3 vrij generiek is. Bewijs doordat alle antwoorden kloppen met een correctiefactor wordt waarschijnlijk niet als 'bewijs' gezien neem ik aan? Want je moet dan oneindig maal

die berekening doen. Dus ok, geen bewijs, maar ik heb wel de formule van een kegel kunnen herleiden.

De vraag die dan rest, waar komt die factor r/3 vandaan?

Heel vriendelijk van je dat je integralen opstelt, maar de kern van dit topic is of je het volume van een kegel dichtgetimmerd kun krijgen zónder integralen. Lees de OP nog eens

Dus ik denk als je die factor r/3 kunt 'bewijzen' zonder integralen dat je dan een heel eind komt Is vast wel een algebraïsch truucje voor.

[Emveedee]

Ik zou eerst proberen met de method of exhaustion om de oppervlakte van een cirkel te berekenen. Als dat gelukt is, kun je het denk ik redelijk eenvoudig uitbreiden naar het volume van een kegel.

 

Die factor 1/3 heeft overigens niet zozeer iets met de straal te maken. In de link in mijn vorige post wordt ook uitgelegd hoe er 3 dezelfde pyramides in 1 kubus passen, misschien dat dat het duidelijk maakt? (In het stukje 3-Pyramids ... Ordinary "Pyramids")

 

 
Dit is trouwens het bewijs van Euclides, ik ben na 3 regels afgehaakt

[Back2Basics]

Ik geloof dat op deze site een bewijs staat, en ik vind die heel aardig. Het principe:
- Emveedee heeft het al gezegd: laat zien dat een kubus uit drie dezelfde pyramides bestaat
- pas het principe van Cavalieri toe
 

 

 
Maar ik vind Cavalieri al heel veel lijken op integraalrekenen.
 

[Emveedee]

Cool gifje, zo kun je het goed inzien!

[Back2Basics]

1) Een kegel kun je beschouwen als allemaal driehoeken naast elkaar totdat ze een volledige cirkel hebben afgelegd.

 

 
Waarom zou dat mogen? Als ik ze naast elkaar zou leggen, zouden ze bij mij een halve balk vormen.
Stel dat je de dunne driehoekjes toch in een kegel, cilinder of ronde vorm legt. Waarom zouden ze aan de binnenkant dan een andere dikte hebben dan aan de buitenkant? Of mag je met twee maten 'oneindig dun' meten?

[anusthesist]

Waarom zou dat mogen?

Dat vraag ik de facto dus aan jullie

Dat ik -door een beetje te spelen laat op de avond- de exacte formule voor het volume van een kegel heb weten te herleiden en juiste antwoorden verkrijg, betekent NIET dat de uitwerking ook de juiste is. Vandaar dat onze docenten altijd zeiden: 'Laat je berekening zien!!!'

Het zou overigens fijn zijn als de OP ook daadwerkelijk (goed) gelezen wordt. Ik vraag namelijk letterlijk of mijn gedachtegang goed is.

[Emveedee]

Hmm, misschien bedoelde je toch iets anders dan ik dacht.
 
Zou je eens een schetsje kunnen maken van:

1) Een kegel kun je beschouwen als allemaal driehoeken naast elkaar totdat ze een volledige cirkel hebben afgelegd.

 
Geef ook even aan waar precies L en B zitten. Merk op dat een driehoek plat is, en dus geen volume heeft.
 
Je kunt een oppervlak ook niet simpelweg vermenigvuldigen met een hoek in radialen om een volume te krijgen. Dan krijg je immers een eenheid van rad m², en niet m^3.
 
Volgens mij kom je op deze manier wel op het antwoord, maar dit is niet op de manier zoals Euclides het gedaan heeft. (ik weet niet of dat specifiek je bedoeling is?) Op deze manier kom je uiteindelijk toch weer bij een oneindige som / integraal uit, denk ik.

[anusthesist]

L en B zijn synoniem aan h en r.

r is de straal van de cilinder maar ook de kegel

h is de hoogte van de cilinder maar ook de kegel

Dus een kegel met exact dezelfde oppervlakte qua basis en hoogte als de cilinder waarin je de kegel kunt visualiseren. Waarbij het puntje van de kegel de cilinder raakt in precies het middelpunt van de cirkel die de bovenkant representeert van de cilinder.

Dat een driehoek geen inhoud heeft snap ik haha

Vandaar dat ik in de OP ook zeg: oppervlakte driehoek (die de helft van een dwarsdoorsnede voorstelt van de kegel) = (r*h)/2

Als je deze driehoek neemt en veronderstelt dat deze maximaal tot 2pi in de kegel past, dan krijg je een volume van 2pi(rh)/2 ofwel pi*r*h. Dus ik zet allemaal driehoeken met oppervlakte r*h/2 in een cirkel tegen elkaar zodat je een kegel krijgt. Ik vermenigvuldig dus de omtrek in radialen (2pi) maal oppervlakte van de driehoek.

Waarom ik daarvoor koos weet ik eigenlijk niet zo goed, leek mij op één of andere manier intuïtief: 'hmmm...hoe krijg ik een driehoek tot een kegel? In een cirkel leggen! Wat is dan de omtrek? 2pi'. Waarschijnlijk mag dit niet, maar ik vond het vrij intuïtief en omdat ik de taal der wiskunde niet machtig ben, kan ik moeilijk uitleggen waarom. Welnu, dat is misschien ook de definitie van 'intuïtie'.

Toen dacht ik dat ik er was met V= pi*r*h, maar die formule geldt alléén voor r = 3. Hieruit moet volgen een 'correctiefactor' van r/3 = 3/3 = 1, anders klopt de formule pi*r*h namelijk niet. Ik leiddte toen hieruit dat je de formule pi*r*h moet corrigeren met een factor r/3. Deze gecombineerd is (pi*r²*h)/3 en dat is inderdaad de formule voor een kegel zoals ik vind als ik google op: 'cone volume calculator'.

Het is toch wel bijzonder dat ik door maar liefst 2 foute aannames (ik mag niet 2pi radialen gebruiken als multiplicatiefactor van het oppervlakte van de driehoek r*h/2, hoewel deze dimensieloos is) en de 'correctiefactor' r/3 klopt ook niet (hoewel het mijns inziens moet kloppen, anders mag je niet stellen voor een kegel met straal 3 dat pi*r*h het volume geeft) tóch de exacte formule verkrijg voor de inhoud van een kegel.

Dus mijn vraag en waar ik naar toe wilde met dit topic:

Zijn deze aannames wel degelijk onjuist?

Ofwel is dit een valide manier om tot het volume van een kegel te komen?

Zo nee, waarom niet en waarom krijg ik dan toch de juiste formule?

[Emveedee]

Nee, dit is helaas geen goede manier om het volume van een kegel af te leiden. 
 
Die factor r/3 compenseert wel mooi, maar die heb je natuurlijk zo gekozen omdat je dan precies op het goede antwoord uitkomt. Zo werkt het helaas niet
 
Wat je probeert te doen lijkt wel enigzins op het nemen van een volume-integraal; daar definieer je een infinitesimaal klein volume-elementje (geen oppervlakte-elementje dus!) en dan integreer je over je volume.
 
In jouw geval zou je dat dus doen door een soort van oneindig dunne taartpunt-achtigen te nemen. Waar je rekening mee moet houden is dat die taartpunt breder is aan de buitenkant dan aan de binnenkant, en smaller wordt naarmate hij hoger wordt. Er zijn makkelijkere manieren om die volume-elementjes te kiezen.

 
 

[anusthesist]

Nee, dit is helaas geen goede manier om het volume van een kegel af te leiden. 

 

Die factor r/3 compenseert wel mooi, maar die heb je natuurlijk zo gekozen omdat je dan precies op het goede antwoord uitkomt. Zo werkt het helaas niet

 

Daar was ik al een beetje bang voor

Maar denk nog even met me mee als je het geduld kan opbrengen;

Die r/3 heb ik niet echt gekozen, dat leidt inherent uit het volgende:

Als ik V = pi*r*h heb voor élke kegel met r = 3, dan móet je corrigeren met r/3. Zoals ik al zei is 3/3 = 1 en alleen als je de straal deelt door 3 verkrijg je pi*r*h = V. Maar ik snap je punt, want het is aardig triviaal; als ik géén andere r had genomen had ik -zoals ik deed- ten onrechte geconcludeerd dat V = pi*r*h voor elke r.

Dus de vraag die hieruit volgt is dan, waarom is de formule V = pi*r*h geldig voor élke kegel met straal r = 3, ongeacht de hoogte?

En het komt mij wel héél goed uit, want ik heb r als teller en als je deze combineert met pi*r*h krijg ik dus pi*r²*h en dat is weer het volume van een cilinder.

Ik blijf het moeilijk vinden om uit te leggen maar snap je een beetje waar ik naar toe wil? Dat het wel héél toevallig is dat de correctiefactor * formule kegel voor r=3 (ofwel pi*r*h) het volume van een kegel oplevert.

Ik vraag me dan af in hoeverre dit nog na te gaan is. Met andere woorden: kunnen we bewijzen dat die correctiefactor r/3 obligaat is uitgaande van een volume pi*r*h voor elke kegel met r = 3?

Dank voor je geduld iig

[Professor Puntje]

In jouw geval zou je dat dus doen door een soort van oneindig dunne taartpunt-achtigen te nemen. Waar je rekening mee moet houden is dat die taartpunt breder is aan de buitenkant dan aan de binnenkant, en smaller wordt naarmate hij hoger wordt. Er zijn makkelijkere manieren om die volume-elementjes te kiezen.

 

Juist - de plakjes zijn niet overal even dik. Zie onderstaande schetsje:

 

plakje 2461 keer bekeken

 

Als je voor één zo'n plakje de verhouding tussen de inhouden van kegelplakje en cilinderplakje kunt berekenen, weet je het ook voor de verhouding tussen de inhouden van kegel en cilinder.