Coördinaten-vrije minkowski-ruimtetijd?

[Professor Puntje]

De gebeurtenissen in de minkowski-ruimtetijd hebben voor hun bestaan geen coördinatenstelsel nodig. Ieder gekozen coördinatenstelsel vormt relativistisch gezien een willekeurige toevoeging aan de ruimtetijd. Je zou daarom verwachten dat er ook een coördinaten-vrij wiskundig model van de minkowski-ruimtetijd moet bestaan dat zelf reeds de eigenschappen bezit die pas door een willekeurig gekozen coördinatenstelsel manifest worden. Is er iets dergelijks bekend?

[Math-E-Mad-X]

Ik begrijp je vraag niet goed.
 
In de natuurkunde heb je altijd een coordinaten-stelsel nodig, want anders kun je simpelweg geen quantitatieve meetresultaten verkrijgen.
 
Je kunt bijvoorbeeld wel zeggen dat een appel van een boom naar beneden valt, maar je kunt zonder coordinaten onmogelijk aangeven hoe snel hij valt.
 
Dus wat bedoel je precies met een coordinaten-vrij wiskundig model?
 
Kun je een voorbeeld geven?

[Professor Puntje]

Je kunt bijvoorbeeld wel zeggen dat een appel van een boom naar beneden valt, maar je kunt zonder coordinaten onmogelijk aangeven hoe snel hij valt.

 
Juist, het coördinaten-vrije wiskundige model van de minkowski-ruimtetijd moet precies alle informatie bevatten over de gebeurtenissen en hun ruimtetijdelijke samenhang voor zover die onafhankelijk is van een gekozen coördinatenstelsel. Het bestaan van het ruimtetijd-continuüm is immers ook onafhankelijk van het coördinatenstelsel dat men kiest om de situatie nader te beschrijven, dus zou je verwachten dat er ook een wiskundig model mogelijk moet zijn dat de speciaal relativistische ruimtetijd beschrijft voordat de keuze voor een zeker coördinatenstelsel gemaakt is. 
 
Het bestaan van vectoren en tensoren gaat wiskundig gezien ook vooraf aan de keuze voor een coördinatenstelsel waarin die vectoren en tensoren dan componentsgewijze beschreven kunnen worden. Daarom kan je het ook hebben over een zekere vector of tensor waarvan je dan in verschillende coördinatenstelsels daarbij bijpassende beschrijvingen kunt geven. Het gelijkstellen van vectoren en tensoren die gedefinieerd zijn in verschillende coördinatenstelsels leidt (althans in mijn hoofd) tot een logische warboel. Gelijkheden moeten uit bewijzen blijken en laten zich niet verordeneren. Mocht men dat in de moderne wiskunde toch doen, dan zit er voor mij niets anders op dan dat coördinaten-vrije wiskundige model van de minkowski-ruimtetijd zelf op te sporen om de logische structuur van de theorie voor mij begrijpelijk te houden.

[Professor Puntje]

Idee: De coördinaten x,y,z,t in de minkowski-ruimtetijd van een gebeurtenis G worden bepaald door de combinatie van de gebeurtenis G zelf en het gekozen coördinatenstelsel S waarin de coördinaten van G gegeven worden. Dus: (x_G,y_G,z_G,t_G) = coör(G,S). Mogelijk zou je de gebeurtenissen G_m in het kader van de coördinaat-vrije minkowski-ruimtetijd dan kunnen beschrijven als de functies G_m(S) = coör(G,S) waarbij de lorentztransformaties opgaan.

[jkien]

De vraag doet een beetje denken aan de quantummechanica. Schrodinger beschreef de ontwikkeling van een fysisch systeem als een golffunctie ψ(x) die zich ontwikkelt volgens de Schrodingervergelijking. Dirac beschreef hetzelfde coordinaatvrij met bra en kets. De coordinaatvrije ket |ψ> correspondeert met de golffunctie ψ(x).
 
Maar een lege 'coordinaatvrije ruimtetijd' klinkt als vlees noch vis, alsof je doel is om niets te gaan beschrijven.

[Professor Puntje]

@ jkien
 
De coördinaatvrije ruimtetijd is gevuld met gebeurtenissen. Welke gebeurtenissen dat precies zijn hangt af van het probleem dat je wil beschrijven. De wiskundige definitie van een tensor maakt het mogelijk vectoren (en meer geavanceerde soortgelijke begrippen) coördinaatvrij te introduceren. Het lijkt mij zeer waarschijnlijk dat iets dergelijk voor de gebeurtenissen in een coördinaten-vrije minkowski-ruimtetijd ook mogelijk moet zijn.
 
Van bra en ket weet ik jammer genoeg nog niets af. Dat staat nog op mijn verlanglijstje, maar alles op zijn tijd.

[jkien]

De in cartesische coordinaten geschreven gebeurtenis (ct, x₁, x₂, x₃) kun je coordinaatvrij noteren als de positie-viervector 

\(\vec{X}=(ct,\vec{x}) \)

 
Is dat niet wat je zoekt?

 

[Professor Puntje]

De in cartesische coordinaten geschreven gebeurtenis (x₁,x₂,x₃,t) kun je coordinaatvrij noteren als

\((\vec{x},t) \)

 
Is dat niet wat je zoekt?

 
Ja - zoiets zoek ik ook voor gebeurtenissen in de minkowski-ruimtetijd. In een euclidische ruimte hebben vectoren al een betekenis als gerichte lijnstukjes, los van de coördinaten die er al dan niet ook nog gebruikt worden. Maar voor de minkowski-ruimtetijd is het niet evident of er überhaupt zoiets als coördinaatvrije vectoren mogelijk zijn. Een getallenviertal staat niet automatisch voor een wiskundig object dat buiten het betreffende coördinatenstelsel ook nog een betekenis heeft. Ik mis de onderbouwing daarvan.
 
Die onderbouwing zou mogelijk wel te realiseren zijn wanneer je zowel de definitie van coördinaten als die van vectoren op een fundamenteler coördinaat-vrije minkowski-ruimtetijd baseert.

[jkien]

Misschien helpt de term positie-viervector die ik aan mijn bericht toevoegde terwijl je al bezig was met antwoorden. Hierbij de coordinaatvrije notatie links, en drie niet-coordinaatvrije notaties rechts daarvan: 

\( \vec{X}=X^\mu = \left(X^0, X^1, X^2, X^3 \right) =\left(ct, x_1, x_2, x_3 \right) \)

De viervector wijst een gebeurtenis aan. Als je niet twijfelt aan het bestaan van een identificeerbare gebeurtenis kun je moeilijk gaan twijfelen aan het bestaan van de viervector. De SRT laat zien dat alle waarnemers het eens zijn over het bestaan van een identificeerbare gebeurtenis en dat ze elkaars coordinaten eenduidig kunnen omrekenen.

[Professor Puntje]

Laten we dat idee eens precies maken om te zien of je zo tot een coördinaatvrije viervector komt. Ik accepteer het (geïdealiseerde) bestaan van het coördinaatvrije ruimtetijd-continuüm waarvan ieder "punt" een (opnieuw geïdealiseerde) gebeurtenis voorstelt. Daar kunnen we dus van uitgaan. Vervolgens schrijf je:
 

De viervector wijst een gebeurtenis aan.

 
Ik neem aan dat je daarmee bedoelt dat er een functie f van het coördinaatvrije ruimtetijd-continuüm naar de verzameling der coördinaatvrije viervectoren bestaat zodanig dat f(G) de unieke coördinaatvrije viervector is die de gebeurtenis G aanwijst. Eens?

[jkien]

Zulk geredeneer naar iets diepers is meer voor filosofen dan voor mij, dat leidt bij mij alleen maar tot spraakverwarring. Ik dacht even dat je op zoek was naar een generalisatie van de bestaande coordinaatvrije notaties van de bewegingswetten zoals

\( \mathbf{F}=m\mathbf{a} \)

  en voor een elastisch medium 

\( \nabla\cdot\sigma + \mathbf{F} = \rho\ddot{\mathbf{u}} \)

  en

\( \boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\nabla}\mathbf{u}+({\nabla}\mathbf{u})^T\right]}\)

  en  

\( \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon} \)

​
 
Maar blijkbaar zoek je wat anders.

1

[Professor Puntje]

Maar blijkbaar zoek je wat anders.

 
Neen - ik wil enkel het wiskundige naadje van de kous weten. En dat gaat nu eenmaal niet zonder dat je precies maakt wat je bedoelt. Ook als we ervan uitgaan dat een viervector een gebeurtenis aanwijst, weten we nog niet hoe we twee viervectoren moeten optellen op een wijze die onafhankelijk is van een gekozen coördinatenstelsel. Er zo zijn er nog meer vragen te beantwoorden voordat de claim dat viervectoren de eigenschappen van coördinaatvrije vectoren hebben kan worden waargemaakt. Op filosofisch geredeneer naar iets diepers ben ik niet uit, daar is dit het juist forum ook niet voor. Maar rigoureuze wiskunde zou wel moeten kunnen.

[jkien]

Goed, ik pas.

[Professor Puntje]

Ik vermoed dat met behulp van een topologische variëteit een coördinaatvrij wiskundig model van de minkowski-ruimtetijd te construeren is. Maar mijn kennis schiet op dit moment tekort om dat daadwerkelijk te doen.

[Professor Puntje]

Hier een link met voor dit topic relevante commentaren:
 
http://physics.stackexchange.com/questions/65084/in-coordinate-free-relativity-how-do-we-define-a-vector