Vragen over de schrödingervergelijking

[Professor Puntje]

Inmiddels ben ik mijn kennis van de kwantummechanica aan het bijspijkeren. Zoals gebruikelijk komen daarbij enige vragen op. Om te beginnen:
 
- In de tijdsonafhankelijke eendimensionale schrödingervergelijking komt de potentiële energie van het bestudeerde deeltje voor. Maar hoe moet ik dat begrijpen? Volgens de QM kan een deeltjes zich toch niet op één bepaalde plaats bevinden? En verder heeft de potentiële energie geen bepaalde waarde omdat het nulpunt steeds vrij gekozen kan worden....

[physicalattraction]

De potentiële energieterm in de Schrödinger vergelijking is dan ook eigenlijk geen energie, maar een energieverdeling

\(V(r)\)

. Om de energie uit te rekenen, dien je die term te vermenigvuldigen met de kansdichtheid van het elektron

\(|\Psi(r)|^2\)

en te integreren over de gehele ruimte.
 
De potentiële energie heeft een arbitraire nulpunt, maar dit zal zich in de Schrödinger vergelijking alleen maar uiten door dezelfde constante ook aan het rechterlid toe te voegen, dus de eigenwaarde

\(E\)

te verhogen met dezelfde constante. Alle praktische berekeningen daarna zullen hetzelfde zijn, dus voor het gemak neemt men meestal de constante gelijk aan 0.

[Professor Puntje]

De potentiële energieterm in de Schrödinger vergelijking is dan ook eigenlijk geen energie, maar een energieverdeling

\(V(r)\)

. Om de energie uit te rekenen, dien je die term te vermenigvuldigen met de kansdichtheid van het elektron

\(|\Psi(r)|^2\)

en te integreren over de gehele ruimte.

Ah - juist.

 

De potentiële energie heeft een arbitraire nulpunt, maar dit zal zich in de Schrödinger vergelijking alleen maar uiten door dezelfde constante ook aan het rechterlid toe te voegen, dus de eigenwaarde

\(E\)

te verhogen met dezelfde constante. Alle praktische berekeningen daarna zullen hetzelfde zijn, dus voor het gemak neemt men meestal de constante gelijk aan 0.

Hier staat het als volgt:
 

image017 3762 keer bekeken

Stel dat we het nulpunt van de potentiële energie veranderen dat gaat U(x) over in U'(x) en E(x) in E'(x) en daarbij geldt:
 
U'(x) = U(x) + C
 
E'(x) = E(x) + C
 
Zowel links als rechts in de schrödingervergelijking komt er dan dus C.Ψ(x) bij. Inderdaad - voor de oplossingen maakt dat geen verschil.

[Professor Puntje]

Volgende vraag:
 
Hoe normaliseer je de eendimensionale golffunctie van een vrij deeltje? Is de amplitude dan wiskundig onbepaald?

[physicalattraction]

Golffuncties die over het gehele (oneindige) domein gedefinieerd zijn, kun je niet normaliseren. Stel, de amplitude op elke plek was heel klein, maar eindig (zeg

\(\epsilon(r)\)

), dan zou de integraal van de golffunctie in het kwadraat over de ruimte oneindig opleveren, i.p.v. 1. Hier staat dezelfde vraag in wat meer woorden beantwoord.

[Professor Puntje]

Kennelijk levert de schrödingervergelijking dus voor het simpelste geval (een vrij deeltje) geen bruikbare uitkomst.
 
Nu spelen vrije deeltjes binnen de twee relativiteitstheorieën een belangrijke rol. Daarom vraag ik mij af of het ontbreken van een bruikbare beschrijving van een vrij deeltje op basis van de schrödingervergelijking een struikelblok vormt voor de vereniging van QM en ART?

[jkien]

Volgende vraag:

 

Hoe normaliseer je de eendimensionale golffunctie van een vrij deeltje? Is de amplitude dan wiskundig onbepaald?

 

Bij een vrij deeltje denk ik aan een golfpakket met een gaussische enveloppe. Dan is de normering geen probleem. Kan het zijn dat jij wat anders bedoelt, namelijk een oneindige bundel van oneindig veel vrije deeltjes?

 

[Professor Puntje]

Het gaat mij om één vrij bewegend deeltje.
 
Je golfpakketje lijkt mij inderdaad een veel bevredigender voorstelling. Is dat dan ook een oplossing van de schrödingervergelijking?

[jkien]

Ja, maar de schrödingervergelijking geeft dispersie, daardoor vervormt het golfpakket in de loop van de tijd. De breedte neemt toe en de hoogte neemt af, en de enveloppe blijft gaussisch. 

 

Enveloppe (bron: wikipedia over wave packet.)

[Professor Puntje]

Goed bedankt zover.
 
Volgende vraag:
 
Behoeft de aan de klassieke fysica ontleende potentiële energie zelf geen kwantum correctie?

[physicalattraction]

Een golfpakketje en een vlakke golf zijn beide oplossingen van de Schrödinger vergelijking, maar wel verschillende. De een is niet normaliseerbaar, maar als je nadenkt wat dat betekent (zie bericht #5), dan is dat niet heel vreemd en hoeft ook geen probleem te vormen voor wat je er eigenlijk mee wil gaan berekenen.
 

Behoeft de aan de klassieke fysica ontleende potentiële energie zelf geen kwantum correctie?

 
Die vraag zelf behoeft meer uitleg. Binnen de klassieke mechanica nemen we geen kwantummechanische effecten mee, dus is de potentiële energie prima bruikbaar. Hoe meer je een systeem op kwantumniveau beschouwt, hoe slechter in het algemeen die benadering zal zijn. Voor een meer kwantitatief antwoord is meer context nodig.

[Professor Puntje]

Die vraag zelf behoeft meer uitleg. Binnen de klassieke mechanica nemen we geen kwantummechanische effecten mee, dus is de potentiële energie prima bruikbaar. Hoe meer je een systeem op kwantumniveau beschouwt, hoe slechter in het algemeen die benadering zal zijn. Voor een meer kwantitatief antwoord is meer context nodig.

 
Binnen de klassieke mechanica zelf doen we inderdaad niet aan kwantumeffecten, dus daar is er geen probleem. Wat ik zie is dat allerlei grootheden binnen de QM in bepaalde omstandigheden gekwantiseerd blijken te zijn. Daarom vroeg ik mij af of dat in bepaalde omstandigheden ook voor de potentiële energie zelf zou moeten gelden. En verder, of het voor een grondige aanpak wellicht nodig is de QM helemaal los van de klassieke mechanica op te bouwen, dat wil zeggen zonder aan de klassieke mechanica nog gegevens (zoals de potentiële energie) te ontlenen.

[physicalattraction]

Volgens mij is dat slechts een kwestie van hoe je de verschillende termen noemt, zonder dat je er wezenlijk de kwantummechanica op de kop zet. Neem bijvoorbeeld de volgende vorm van de Schrödinger vergelijking.
 

\(\hat{H} \Psi = E \Psi\)

 
Waarbij

\(\hat{H}\)

de Hamiltoniaan van het systeem is. Deze kun je vaak opsplitsen in verschillende componenten, afhankelijk van je systeem en in hoeveel detail je het systeem wil beschrijven. Bijvoorbeeld, voor een niet-relativistische elektron in een elektrisch veld met potentiaal

\(\phi(\vec{r},t)\)

en vectorpotentiaal

\(A(\vec{r}, t)\)

neemt de Hamiltoniaan de volgende vorm aan.
 

\(\hat{H} = \frac{1}{2m} \Bigl( \frac{\hbar}{i} \nabla_{\vec{r}} + e A(\vec{r}, t) \Bigr)^2 - e \phi(\vec{r}, t)\)

 
Meer algemeen is deze opsplitsing in deze vorm.
 

\(\hat{H} = T(\vec{r}) + V(\vec{r}, t) = \sum_{j} \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2_{\vec{r}_{j}} + V(\vec{r}, t)\)

 
Waarbij

\(j\)

de index over alle deeltjes is. De eerste term hier noemt men de kinetische energie operator, en de tweede term de interactie operator of interactiepotentiaal operator. Deze benamingen zijn niet geheel toevallig overgenomen uit de klassieke mechanica. Als je de interactiepotentiaal

\(V\)

op 0 stelt, is de eigenwaarde

\(E\)

die bij de Schrödinger vergelijking hoort gelijk aan de kinetische energie van elk individueel deeltje, berekend met een simpel

\(\frac{1}{2}mv^2\)

. Wanneer je dan bijvoorbeeld alleen de interactie met een elektrisch veld meeneemt, zal de correctie op de eigenwaarde

\(E\)

gelijk zijn aan de potentiële energie die je klassiek zou berekenen voor dit systeem. Het wordt pas ingewikkeld als je interacties tussen de deeltjes gaat meenemen, want dan kun je (in theorie) nog wel een eigenwaarde

\(E\)

bepalen, maar kun je niet echt zeggen welk gedeelte daarvan kinetische energie en welk gedeelte potentiële energie is.

[Professor Puntje]

Laat ik het wat concreter maken: de elektrische potentiaal van een elektron in een atoom wordt bepaald vanuit de Wet van Coulomb, maar de Wet van Coulomb is een klassieke en macroscopisch gevonden wetmatigheid. Wikipedia vermeldt het volgende:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law#Atomic_forces
 
Maar hoe weten we dat het legitiem is die wet ook op (sub)atomaire schaal geldig te veronderstellen, is daar ook specifiek onderzoek naar gedaan?

[physicalattraction]

Goed punt. Als nog specifieker voorbeeld neem ik dan een helium atoom, zonder spin interacties: twee elektronen op posities

\(\vec{r}_1\)

en

\(\vec{r}_2\)

en een +2 geladen kern op positie

\(\vec{r} = 0\)

.
 

\(\hat{H} = \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2_1 - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_1} \Bigr) + \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2_2 - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_2} \Bigr) + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}\)

 
Jouw vraag is nu dus: in hoeverre weten we dat dit inderdaad de vorm is die de potentiaal

\(V(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\)

aanneemt? Ik ben niet bekend met specifiek onderzoek die dit aantoont.
 
Natuurlijk is dit voor bijvoorbeeld waterstof eenvoudig te berekenen, en komen de energieniveau's overeen met de gemeten spectraallijnen voor waterstof. Kleine afwijkingen worden toegeschreven aan bijvoorbeeld spineffecten, welke je in theorie ook mee kan (moet) meenemen in je berekeningen.