Lagrange

[gast016]

Hoi! Ik heb een opdracht waar ik echt niet uitkom. Kan iemand mij helpen? 
 
Een kraal (massa m) kan radieel bewegen langs een spaak van een roterend wiel (vaste draaifrequentie w). We noemen de afstand van kraal tot draaipunt r(t). 
De kraal is met een veer (veerconstante k, rustlengte l_0) verbonden met het draaipunt. 
We zijn geïnteresseerd in de beweging van de kraal, met andere woorden in r als functie van de tijd t. 
 
a. Druk de kinetische energie uit in r(t), r'(t), m en w en geef een uitdrukking voor de Langragiaan als functie van r(t) en r'(t). 
 
b. Geef de Euler-Lagrange vergelijking. 
 
Alvast bedankt

[Emveedee]

Kun je laten zien wat je zelf al had gevonden?
 
Mocht je nog niet ver gekomen zijn, probeer dan eerst om de potentiële en kinetische energie uit te drukken, als functie r en r'.
Daarna:  wat is dan de Lagrangiaan? Hoe kun je daaruit dan de bewegingsvergelijkingen afleiden?

[gast016]

KE= (1/2)mw^2r^2 + (1/2)mr'^2
PE=(1/2)k(l_0 - r)^2 + iets van een hoogte energie (mgh = mgrsin(tetha)? )

[gast016]

Dat is wat ik had voor de energien. 
Ik weet dat de Lagrangiaan KE - PE is, maar niet hoe ik hieruit de bewegingsvergelijking kan halen. Is dit met dL/dx = 0
d/dt (dL/dx' ) = 0 dus dL/dx' = constant? 

[Emveedee]

De kinetische energie lijkt me juist, voor de potentiële denk ik dat je geen rekening hoeft te houden met de hoogte-energie. Hier wordt in de opgave niks over gezegd, dus dat zou maar net van de oriëntatie van het wiel afhangen. Als het wiel draait om een verticale as speelt het immers ook niet mee.

 

De bewegingsvergelijkingen kun je vinden m.b.v. de  Euler-Lagrangevergelijking:

\(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0 \,. \)

 
Vul hier simpelweg je gevonden Lagrangiaan in, en meestal vind je iets wat verdacht veel op F=ma lijkt
 
 
Trouwens, mocht je bekend zijn met LaTeX, dat kun je hier op het forum ook gebruiken: http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/134114-handleiding-hoe-werk-ik-met-latex/

[gast016]

Super bedankt!
En mijn lagrangiaan is dan 0.5m(w^2r^2+r'^2) - 0.5kr^2? 

[Emveedee]

Vergeet l_0 niet in de potentiaal Maar verder klopt het wel volgens mij.