Complexe getallen

[Wiskundeisloveislife]

Enige tips voor deze oefening?

[Safe]

Wat heb je geprobeerd ...

[Wiskundeisloveislife]

Ik heb geprobeerd z gelijk te stellen aan 5-5i maar weet dat dat fout is. Ik weet gewoon niet wat ik moet doen.
Ik heb geprobeerd z gelijk te stellen aan 5-5i maar weet dat dat fout is. Ik weet gewoon niet wat ik moet doen.

[mathfreak]

Stel z = a+bI en bepaal vervolgens a en b.

[Safe]

Je kent de formule voor de opl van de verg az^2+bz+c=0 (neem ik aan). Los de verg op, in 't bijzonder de discriminant ...

[Professor Puntje]

(z - z₁).(z - z₂) = z² - z + (- 5 + 5i)
z² - (z₁ + z₂)z + z₁z₂ = z² - z + (- 5 + 5i)
 
Dus?

[ukster]

abc formule:
a=1
b=-1
c=-5+5i
z1,2=(1+-sqrt(21-20i))/2
z1=3-i
z2=-2+i
product reële delen = -6   (antwoord B)

[Safe]

Hoe ben je aan z1 en z2 gekomen, maw wat weet je van sqrt(21-20i) ...

[ukster]

z1,2=(1+-sqrt(21-20i))/2  (abc formule)
z1=(1+sqrt(21-20i))/2
z2=(1-sqrt(21-20i))/2
 
sqrt(21-20i)=5-2i
 
z1=(1+5-2i)/2=(6-2i)/2=3-i
z2=(1-(5-2i))/2=(-4+2i)/2=-2+i
product reële delen is -6

[Safe]

sqrt(21-20i)=5-2i
 

   
Precies, maar hoe heb je dit gevonden? Heb je Maple gebruikt of ...

[ukster]

de modulus of absolute waarde van 21-20i is 29 (pythagoras)
het argument van 21-20i is -43,602818 degr (tan^-1(IM/RE))
rekenregel worteltrekken complex getal:
wortel(absoute waarde) en nieuwe argument =argument/2
dus sqrt(21-20i) = 5,385164807 onder een hoek van -21,801409 degr (de P-notatie)
De R-notatie is dan 5-2i

[Safe]

Dat is een behoorlijke omweg. 
Laten we eerst veronderstellen dat 21-20i=(a-bi)² een geheel kwadraat is, dan moet 21=a²+(bi)²=a²-b²   èn -20i=-2abi,
Als onze veronderstelling juist is, kunnen we gewoon gaan proberen (want het zijn kleine gehele getallen), a=5 en b=2 blijkt juist te zijn. Zo op 't oog ziet dit er nog niet simpel uit, maar je kan dit zeer eenvoudig uit het hoofd doen ...

[ukster]

Mee eens, maar dan moet je inderdaad gaan uitproberen
De rekenregels voor complexe getallen zijn denk ik tot stand gekomen met behulp van vectoreigenschappen (Euler) in een complex vlak.