Closed convex sets

[Casper Thalen]

Hoi allemaal,

 

In een stelling kom ik het volgende tegen:

Let

\(V_1, V_2 \subseteq R^n \)

be convex sets such that

\( V_1 \cap V_2 = \emptyset \)

and

\( V_1 - V_2 \)

is closed. 
 
Mijn vraag betreft het laatste criterium, kun je uit het feit dat

\( V_1 - V_2 \)

closed is, opmaken dat

\( V_1 \)

en

\( V_2 \)

allebei zelf ook closed zijn?

[Bart23]

Staat dat er zeker op die manier?
Als

\( V_1\cap V_2=\emptyset\)

, dan is toch

\(V_1-V_2=V_1\)

?

[Professor Puntje]

Staat dat er zeker op die manier?
Als

\( V_1\cap V_2=\emptyset\)

, dan is toch

\(V_1-V_2=V_1\)

?

 
Ik ben niet deskundig op het gebied van de topologie, maar dat punt verbaasde mij ook al.

[Math-E-Mad-X]

Ik denk dat hij het volgende bedoelt:
 

\(V_1 - V_2 := \{w \in R^n \mid w = v_1 - v_2, v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\}\)

 
wat je dus niet moet verwarren met 
 

\(V_1 \setminus V_2 := \{w \in R^n \mid w \in V_1, w \not \in V_2\}\)

[Bart23]

OK, waarschijnlijk bedoelt hij dat. De notaties zijn niet altijd eenvormig voor het verschil van verzamelingen.
Casper, als je bedoelt:

\(V_1\setminus V_2\)

dan kan je voor V₂ eender wat kiezen.
Als je, zoals Math-E-Mad-X aangaf, bedoelt:

\(V_1-V_2\)

kan je bv (voor n=1) nemen:

\(V_1=\mathbb{R}^+,V_2=]-2,-1]\)

Dan is

\(V_1-V_2=[1,+\infty[\)

gesloten, maar V₂ niet