Goniometrische Identiteit

[ukster]

Gegroet allen,
ik ben van een generatie die goniometrische identiteiten nog met met de hand moest oplossen, eigenlijk door (slim) gebruik te maken van de (meest) bekende goniometrische eigenschappen en relaties. Maar hier kom ik niet uit..... tan(x) -5*sin(x) +1 = 0
Dus niet met MAPLE of ander wiskundepakket, maar met de hand!!
ik weet dat er twee reële oplossingen (elkaars complement) zijn in het 1e kwadrant (0....90degr)
Een zetje in de goede richting zou welkom zijn.
 
 
 
 

[Bart23]

De t-formules zullen hier wel soelaas brengen.

[ukster]

Ik heb de t-formules opgezocht en toegepast en inderdaad geeft deze methode de juiste oplossingen.
Dank voor de tip!

[robertus58a]

Toepassen van de t-formules transformeert de gonio vgln in een 4e graads polynoom. Dit is nog steeds geen oplossing......

[ukster]

Met de hand oplossen blijft inderdaad relatief ,omdat je op enig moment toch rekentuig nodig hebt, bijvoorbeeld om de 4 oplossingen te vinden van deze 4e graads polynoom en ook daarna om de hoeken te vinden met (tan^-1) is een rekenmachine nodig.
 
Met de hand bedoelde ik eigenlijk het zo ver mogelijk vereenvoudigen (door substituties en omzettingen) van goniometrische expressies door middel van de bekende goniometrische formules.

[tempelier]

Ik heb er wat op zitten puzzelen maar ook ik heb geen oplossing gevonden die die vierde graadvergelijking omzeilt.
 
Merkwaardigerwijs kan het wel als die +1 een -1 zou zijn.
 
Hij zou dan zijn van het type:
 

\(a\sin x+\tan x=1\)

 
Die vrij eenvoudig oplosbaar is zonder die vierde graadvergelijking.
 
Ik heb vergeefs geprobeerd hem om te bouwen naar dit type,
maar misschien ziet een ander daar wel kans toe.

[robertus58a]

Met de hand oplossen blijft inderdaad relatief ,omdat je op enig moment toch rekentuig nodig hebt, bijvoorbeeld om de 4 oplossingen te vinden van deze 4e graads polynoom en ook daarna om de hoeken te vinden met (tan^-1) is een rekenmachine nodig.

 

Een vierde graads oplossing heeft soms wel een analytische oplossing: https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function

[ukster]

Grappig,een soort van abc formule voor 4e graads polynomen met reële nulpunten

[ukster]

MAPLE PLOT

4e graads polynoom 1242 keer bekeken

[tempelier]

Ik dacht zo:
 

\(a\sin x+\tan x +1=0\)

 
Vermenigvuldig nu met cos(x)  dit geeft:
 

\(a\sin x\cos x +\sin x +\cos x=0\)

 
Dat geeft weer:
 

\(2a\sin x\cos x +2*(\sin x +\cos x)=0\)

 
 
Laat nu:

\(y=\sin x +\cos x\)

 
Substitutie hiervan geeft:
 

\(ay^2+2y-a=0\)

 
Hierdoor is het vraagstuk terug gebracht tot de vorm.
 

\(\sin x+ \cos x =y_{1,2}\)

 
Waarvoor de standaard methode kan worden ingezet.

[ukster]

abc formule toepassen met a= -5 , b=2 geeft y1=-0,8198 en y2=1,2198
Regeltje van Simpson toepassen en ik krijg het antwoord x=75,39 degr. en dat is het juiste antwoord.
maar ik kom niet op het andere goede antwoord namelijk 14,61 degr. (complement van 75,39 degr) (zie MAPLE PLOT)

[tempelier]

De standaard methode:
 
Laat:
 

\(\sin x +\cos x=p\)

 
dan:
 

\(\cos 45^o\sin x+ \cos 45^o\cos x=\frac{p\sqrt{2}}{2}\)

 
dit geeft:
 

\(\cos (x-45^o)=\frac{p\sqrt{2}}{2}\)

[ukster]

Inderdaad, de antwoorden zijn dan respectievelijk 75,39 degr. en 170,428 degr. echter geen 14,61 degr. (zie MAPLE PLOT)
Ik zou haast denken aan nog een ander setje waarden voor y1,2

[tempelier]

Inderdaad, de antwoorden zijn dan respectievelijk 75,39 degr. en 170,428 degr. echter geen 14,61 degr. (zie MAPLE PLOT)
Ik zou haast denken aan nog een ander setje waarden voor y1,2

Je moet in principe 4series van antwoorden krijgen.
(dit conform de vierdegraadvergelijking)
 
Je krijgt ook twee series uit de vierkantsvergelijking.
Die splitsen ieder weer op in twee series doordat cos(x)=cos(-x)
 
PS.
Het is niet altijd zo dat elke oplossing bruikbaar is.

[ukster]

Natuurlijk ,dat is het !!
 
Hartelijk dank voor jullie bijdrage.....