De formules van simpson

[Dalal Talhaoui]

Tot de dag van vandaag, snap ik deze goniometrische formules nog steeds niet. Ik heb ze altijd al letterlijk van buiten geleerd. Maar ik zou graag ook het nut erin willen zien en vooral nu omdat ik het veel nodig zal hebben.
Of als er al een minicursus hierover bestaat, zou ik dan een link kunnen krijgen?
 

[Th.B]

Als je ze wilt afleiden, zou je dat met de formule van Euler kunnen doen: e^ix = cos x + i sin x. Louter meetkundige afleidingen zonder gebruik van Taylorreeksen en/of complexe getallen zijn ook mogelijk, maar een beetje lastiger en naar mijn mening niet erg inzichtelijk.

[Professor Puntje]

Kennelijk gaat het hierover:
 
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lijst_van_goniometrische_gelijkheden#Som-naar-product-identiteiten_.28regels_van_Simpson_of_formules_van_Mollweide.29
 
Ik zou eerst de tweede, derde en vierde regel uit de eerste afleiden, dat moet eenvoudig te doen zijn. Dan heb je daarna alleen de eerste regel nog te bewijzen.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

verplaatst naar wiskunde

[mathfreak]

Ga uit van de volgende formules:
sin(a+b) = sin a·cos b+sin b·cos a
sin(a-b) =  sin a·cos b- sin b·cos a
 
Optellen van deze formules geeft dan: sin(a+b)+sin(a-b) = 2sin a·cos b. Stel a+b = p en a-b = q, dan geldt dat a = ½(p+q)
en b = ½(p-q). dus sin p+sin q = 2sin½(p+q)·cos½(p-q). Met behulp van sin (-q) = -sin q en cos u = sin(½π-u) vind je de formules voor sin p-sin q, cos p+cos q en cos p-cos q.

[Professor Puntje]

Ga uit van de volgende formules:
sin(a+b) = sin a·cos b+sin b·cos a
sin(a-b) =  sin a·cos b- sin b·cos a

 
De tweede regel volgt ook hier eenvoudig uit de eerste. Dus het komt erop neer dat je enkel de eerste regel hoeft te onthouden, de andere formules kun je dan zelf terug vinden mocht je ze hun exacte vorm vergeten zijn.
 

Als je ze wilt afleiden, zou je dat met de formule van Euler kunnen doen: e^ix = cos x + i sin x. Louter meetkundige afleidingen zonder gebruik van Taylorreeksen en/of complexe getallen zijn ook mogelijk, maar een beetje lastiger en naar mijn mening niet erg inzichtelijk.

 
Ik heb die eerste somformule vroeger zelf wel eens geometrisch afgeleid, maar dat was een hele klus. Met de bekende formule van Euler zal het inderdaad eenvoudiger gaan.

[Th.B]

Het probleem bij geometrische afleiden is vooral dat je als je een plaatje wilt tekenen, er vaak al vanuit gaat dat de betreffende hoek bijvoorbeeld tussen 0 en pi ligt. Dan moet er daarna dus gevalsonderscheid worden gemaakt, et cetera.

[tempelier]

Het probleem bij geometrische afleiden is vooral dat je als je een plaatje wilt tekenen, er vaak al vanuit gaat dat de betreffende hoek bijvoorbeeld tussen 0 en pi ligt. Dan moet er daarna dus gevalsonderscheid worden gemaakt, et cetera.

Dat is voor sommige plaatjes waar. (dan kan het in tien regels)
 
Maar er bestaan ook plaatjes andere plaatjes.
 
In Wijdenes Goniometrie staat een algemene afleiding in hoofdstuk VII,42 (althans in mijn druk) voor cos(a-b)
Waar dan de andere drie dan weer afgeleid kunnen worden.
 
======
PS.
Voor complexe waarden moet er natuurlijk wat zwaarder geschut in stelling worden gebracht.

[Professor Puntje]

In Wijdenes Goniometrie staat een algemene afleiding in hoofdstuk VII,42 (althans in mijn druk) voor cos(a-b)
Waar dan de andere drie dan weer afgeleid kunnen worden.

 
Ik heb even P. Wijdenes Leerboek der goniometrie en trigonometrie (1953) erbij gepakt. In hoofdstuk VII staan inderdaad een aantal meetkundige bewijzen van de optellingsformules.
 
 
Overigens ben ik wel benieuwd wat de topic starter van de gegeven reacties vindt...

[Dalal Talhaoui]

Ik ben jullie zeer dankbaar! 

[Bart23]

Maar ik zou graag ook het nut erin willen zien en vooral nu omdat ik het veel nodig zal hebben.
 

Euh...wanneer is iets nuttig?
 

Als je ze wilt afleiden, zou je dat met de formule van Euler kunnen doen: e^ix = cos x + i sin x. Louter meetkundige afleidingen zonder gebruik van Taylorreeksen en/of complexe getallen zijn ook mogelijk, maar een beetje lastiger en naar mijn mening niet erg inzichtelijk.

De vraag is wel: welke definitie van cosinus en sinus wordt gebezigd door de vraagsteller?
Als het de standaarddefinitie in het middelbaar onderwijs is (à la coördinaten van een punt op de eenheidscirkel) dan zitten we wel met een cirkelredenering, vrees ik...

[Back2Basics]

Op wikipedia staat dit:
"... De <b>regel van Simpson</b> is een benaderingsformule om de numerieke waarde van een integraal te berekenen. ..."
De regel heeft ook wel een andere naam, welke omschrijft wat je ermee kunt doen: "Som-naar-product-identiteiten", en ook de omgekeerde toepassing als "Product-naar-som-identiteiten"
 
Is dat wat je als nut zoekt?

[Bart23]

Op wikipedia staat dit:
"... De <b>regel van Simpson</b> is een benaderingsformule om de numerieke waarde van een integraal te berekenen. ..."

 
Dat is een andere regel. Wel van dezelfde Thomas Simpson denk ik, en ook een verkeerd eponiem.

[Back2Basics]

Ah ja, natuurlijk. Een beetje dom van mij.