Cos ^ 4 x integreren

[JDAV]

Beste
Ik zit met een oefening met de opgave Integraal (cos^4 x) . dx
De uitkomst moet 1/4 cos^3 x . sin x + 3/8 cos x . sin x + 3/8 x + c zijn. Ik heb echter geen idee hoe ik hieraan kom.
Als ik gewoon de formule toepas blijf ik steeds met een integraal op het einde zitten.
Als ik dit opzoek vind ik andere manieren om het te doen, maar ook andere uitkomsten.
Vriendelijke groeten en alvast bedankt.

[tempelier]

Er zijn verschillende methode mogelijk.
 
Het probleem is welke je gezien je opleiding beheerst.
 
ik zou de graad verlagen via:
 

\(\cos^4 x=\frac{(1+\cos2x)^2}{4}\)

[JDAV]

We hebben nog geen omzetting zoals dat toegepast, maar we hebben wel al die formule gezien.
In een filmpje dat ik zag deden ze het ook ongeveer zo, maar was de uitkomst anders dan wat ik moet uitkomen.

[tempelier]

Een andere methode is herhaalde partiële integratie, heb je dat wel gehad?
 
PS.
Bij dit soort integralen komen er vaak bij verschillende methoden antwoorden uit die verschillend lijken,
maar die na bestudering toch het zelfde blijken te zijn..

[JDAV]

Herhaalde partiele integratie is wat we nu zien in de les.
Het probleem is dat hoe ver ik ook uitwerk ik telkens met een integraal blijf zitten.

[tempelier]

Het moet via:
 

\(\cos^4 x =\cos^3x d\sin x\)

 
Als je dat correct doet houd je weer een integraal over.
 
Maar bedenk dat deze integraal de zelfde was als waar je mee begon en die er ook nog staat aan de andere kant van de =
 
Schuif de nieuwe bij de oude en sommeer dan heb je je antwoord.

[JDAV]

Werk ik het dan zo uit?.
∫ cos⁴ x . dx = ∫ cos³ x . cos x . dx ?
 
Want zo heb ik het gedaan en het lukte niet om volledig uit te werken.

[mathfreak]

Werk ik het dan zo uit?.
∫ cos⁴ x . dx = ∫ cos³ x . cos x . dx ?
 
Want zo heb ik het gedaan en lukte het niet om volledig uit te werken.

Dit klopt. Gebruik nu dat ∫f'(x)·g(x)dx = f(x)·g(x)-∫f(x)·g'(x)dx met f(x) = sin x en g(x) = cos³ x. Wat levert dat op, en wat is dan de volgende stap?

[tempelier]

\(\int\cos^4 dx=\int\cos^3x d\sin x=\cos^3\sin x -\int \sin x d\cos^3 x=\)

[JDAV]

Dan heb ik dus cos³ x . sin x - ∫ (sin x . 3 . cos² x . dx)
= cos³ . sin x - 3 . ∫ (sin x . cos²  . dx)
= cos³ . sin x - 3 . (-cos x . cos² - ∫ (2 . -cos x . cos x . dx) 
= cos³ . sin x + 3 (cos³ x + 2 ∫ cos²x . dx)
 
Hoe is dit tot nu toe?

[tempelier]

Dan heb ik dus cos³ x . sin x - ∫ (sin x . 3 . cos² x . dx)
= cos³ . sin x - 3 . ∫ (sin x . cos²  . dx)
= cos³ . sin x - 3 . (-cos x . cos² - ∫ (2 . -cos x . cos x . dx) 
= cos³ . sin x + 3 (cos³ x + 2 ∫ cos²x . dx)
 
Hoe is dit tot nu toe?

Je bent vergeten de ketting regel toe te passen.
 
Ik tik alleen de rechter integraal in die wordt dan.
 

\(-3\int\sin^2 x \cos^2 dx\)

[JDAV]

cos³ x . sin x - ∫ (sin x . 3 . cos² x . sin  x . dx)
= cos³ x. sin x - 3 . ∫ (sin² x . cos²  . dx)
 
Oké, ik snap wat ik daar heb foutgedaan.
Maar hoe doe ik het nu verder? Als ik omzet naar ∫(1 - cos² x) . (1 - sin² x) . dx
weet ik niet hoe ik dat verder moet uitwerken

[tempelier]

Je neemt een stap te veel:
 

\(\int\sin^2x \cos^2x dx=\int(1-\cos^2x)\cos^2xdx=\int\cos^2xdx -\int\cos^4x dx\)

[JDAV]

Oké, dan werk ik gewoon verder uit.
Hartelijk bedankt!

[tempelier]

Oké, dan werk ik gewoon verder uit.
Hartelijk bedankt!

Graag gedaan hoor en succes er verder mee..
 
PS.
Voor iemand die pas begint met partiële integratie is het best een heel moeilijk sommetje.
Dat je wat hulp nodig had is dus vrij normaal.