1+2+3+4+5+6....

[jan arie willem]

Beste forumleden ik snap niet waarom dit -1/12 is en waarom 1-2+3-4+5-6.... en waarom dat 1 is kan iemand mij dit graag makkelijk en duidelijk uitleggen.
 
alvorens bedankt

[PAAC]

Hier wordt het wat uitgebreider behandeld(alhoewel ik deze zelf nog niet volledig heb bekeken):

[xansid]

Je vraagt om het onmogelijke.
Dit is helaas niet makkelijk en duidelijk uit te leggen. Er is veel wiskundige voorkennis voor nodig en zelfs dan is het moeilijk te bevatten.

[Back2Basics]

Voor mij is het maar de vraag of je, in plaats van één van de mogelijke uitkomsten 0 of 1, het gemiddelde ½ mag of moet nemen, bij de som S₁=1-1+1-1+1 ... Deze aanname staat aan de basis van de redenering.
Als ik de lichtschakelaar -niet de dimmer- bij mij thuis schakel, dan gaat de lamp aan, of uit. Over langere tijd gezien is die aan of uit. En niet gemiddeld half aan. Bij de mens was dat over de tientallen eeuwen heen ook het geval: een vrouw was zwanger of niet zwanger. Niet een beetje zwanger. Een man en vrouw samen waren ook niet ieder half zwanger.

[tempelier]

Men gebruikt een andere manier van sommeren.
Die manier is in de lagere rekenkunde niet toegestaan.
 
De verwarring onstaat dordat men de zelfde notatie gebruikt.
 
Het is net zoiets als bij integreren:
daar gebruikt men voor Lebesgue integreren de zelfde notatie als voor Rieman integratie.

[xansid]

Wat heeft jouw lichtschakelaar of zwangerschap in hemelsnaam met oneindige reeksen te maken? Dit soort onzinnige vergelijkingen dragen alleen maar bij aan de verwarring.
 
Hier wordt onder andere uitgelegd waarom de waarde 1/2 aan de Grandi-reeks kan worden toegekend
http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html

[PAAC]

Wat ik me nu af vraag is als

1 + 2 + 3 + 4 + ... ⇒ -1/12

Kan men dan ook aantonen dat:

-1/12 ⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + ...

Net als in de trend van:

\( (-2)^2 = 4\)

en

\(2^2 = 4\)

 
Maar alleen:

\( \sqrt{4} = 2\)

 

[Back2Basics]

Wat heeft jouw lichtschakelaar of zwangerschap in hemelsnaam met oneindige reeksen te maken? Dit soort onzinnige vergelijkingen dragen alleen maar bij aan de verwarring.
 
Hier wordt onder andere uitgelegd waarom de waarde 1/2 aan de Grandi-reeks kan worden toegekend
http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html

 
Tja... ik zal verward zijn. Er wordt gesteld: (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Grandi-reeks)  S=1-1+1-1+1... en daarna gaat men ermee rekenen.
Volgens mij gaat het hele ding overboord als je "S" vervangt door "onbestemd". Dus:
Stel:
S=onbestemd
onbestemd=1-1+1-1+1 ...
dan geldt ook
1-onbestemd = 1-(1-1+1-1+1..) = 1-1+1-1+1-1.. = onbestemd
waaruit volgt:
1-onbestemd = onbestemd
ofwel
1=2×onbestemd
dus
½=onbestemd
 
Zo wordt er meteen duidelijk dat er iets niet altijd klopt. In feite is het een indicatie dat je niet met de som S mag rekenen, want die is er niet. Wanneer je een andere rangschikking van de termen maakt, bijvoorbeeld: (1+1+1+1+1..) - 1-1-1-1-1.., dan zie je twee groepen ontstaan: +∞ en -∞. En verder trek ik hier geen conclusies.
 
Meer discussie is hier al gevoerd:
https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi's_series
https://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation
En het een en ander wordt weerlegd in de Eilenberg-Mazur schwindle:
https://en.wikipedia.org/wiki/Eilenberg%E2%80%93Mazur_swindle

[xansid]

Ik snap niet wat het verschil is tussen 'S' en 'onbestemd' behalve dat de laatste een langere naam is. Daarbij kom jij gewoon op een half uit, dus ik snap het probleem niet. Er zijn rigoreuzere methodes om op het antwoord 1/2 uit te komen, maar die zijn wiskundig complexer.

Kunnen wij het hier over eens worden: De Grandi-reeks convergeert niet, zijn Cesarosom is 1/2.

[klazon]

Ik vind het maar raar gegoochel met getallen.
 
De som 1-1+1-1+1-1+1-1+1 enz... is 0 of 1, afhankelijk van de stap waar je eindigt. Het gemiddelde van alle tussenuitkomsten is op de lange duur  weliswaar 1/2, maar de echte uitkomst blijft tussen 0 en 1 heen en weer wapperen.
 
De stelling dat 1+2+3+4+5+6 enz... gelijk is aan -1/12 is helemaal onzinnig. Je gaat aan een positief getal steeds een positief getal toevoegen en het resultaat is dan negatief? Dat kan natuurlijk niet waar zijn. Ergens in het proces doen ze een bewerking die niet is toegestaan, maar ik heb er niet de vinger op kunnen leggen waar dat gebeurt.

[EvilBro]

Ik kan niet helemaal bij de houding "ik vind het raar, dus het is pertinent onzin".

Stel dat ik alleen maar wiskunde bedrijf met natuurlijke getallen. Ik zal dan beweren dat 1/2 onzin is. Het is immers iets dat geen natuurlijk getal is en dus geen getal (want ik doe alleen aan natuurlijke getallen). Dat neemt niet weg dat 1/2 een prima gedefinieerde betekenis heeft in andere wiskunde (Als we bijvoorbeeld met rationale getallen werken).
Ditzelfde geldt voor de bovenstaande reeksen/sommen. De reeks S (= 1 - 1 + 1 - 1 ...) zal 'standaard' gezien worden als een divergente reeks. Er zijn echter prima contexten te verzinnen waarbinnen de reeks wel een betekenis toegekend kan worden op een consistente manier. Dat dit consistent kan is waardoor dit alles wiskundig gezien een zinvolle betekenis krijgt.

[klazon]

Het is niet onzin omdat het raar is, maar het is gewoon onzin.
Het gaat hier om sommen die alleen maar werken met het optellen, resp. aftrekken van natuurlijke getallen. Daar kan dus nooit een breuk uit komen.
 
Ik zou dan wel eens willen zien in welke context de uitkomst 1/2 wel een zinvolle betekenis krijgt. 

[xansid]

Ik vind het nogal merkwaardig dat je een resultaat waar meerdere wiskundige bewijzen voor te vinden zijn simpelweg afdoet als 'gewoon onzin'.

Aangezien je blijkbaar niet gevoelig bent voor grondige analyse zal ik het eens met een analogie proberen.

De truuk zit hem er in dat de reeks niet eindigd. Nergens niet. Als je de Grandi-reeks onderbreekt zal deze ofwel de waarde 0 of 1 hebben, of je hem nou vroeg onderbreekt of laat onderbreekt, 0 of 1. Maar je onderbreekt hem niet. De reeks is daadwerkelijk oneindig. En omdat hij niet ten einde komt is er geen enkele reden om aan te nemen dat de Grandi-reeks als wiskundig object de waarde 0 of 1 zou moeten hebben.

Nu een slechte analogie met een convergerende reeks. Je kent vast wel het verhaal met die haas en de schildpad met een voorsprong. Hij haalt hem eerst voor de helft in, daarna nog eens de helft en zo voorts. Maar op deze manier kan de haas de schildpad nooit inhalen. Want hoe vaak hij ook de halve afstand aflegd de reeks https://en.wikipedia.org/wiki/1/2_%2B_1/4_%2B_1/8_%2B_1/16_%2B_%E2%8B%AFbereikt nooit de waarde 1. Tenzij...
Ja tenzij je dus daadwerkelijk oneindig doorgaat. Want de oneindige reeks van het zojuist gelinkte wikipedia artikel is wiskundig gelijk aan 1. Niet bijna 1, maar echt helemaal 1. De haas haalt dus gewoon de schildpad in, tenzij je de reeks onderbreekt natuurlijk, want dan zal je altijd zien dat de 1 nog niet is bereikt.

[tempelier]

Het is niet onzin omdat het raar is, maar het is gewoon onzin.
Het gaat hier om sommen die alleen maar werken met het optellen, resp. aftrekken van natuurlijke getallen. Daar kan dus nooit een breuk uit komen.
 
Ik zou dan wel eens willen zien in welke context de uitkomst 1/2 wel een zinvolle betekenis krijgt. 

Ik ga daar een eind in mee.
 
Het zou beter zijn om niet uit te gaan van een reeks maar van een rij.
 
Over die rij kan men dan de alom bekende rekenkundige som definiëren.
 
Over de zelfde rij kan men dan bv de Ceasaro som? definiëren.
 
Dir zijn dan wel twee verschillende bewerkingen over de zelfde rij.
 
De ellende ontstaat.doordat onverantwoorde grapjassen net doen of de alternatieve bewerking een rekenkundige zou zijn.
 
PS.
Het rommelen met sommaties kan vreemde zaken opleveren.
Zo kan men komen tot: ln 2=2 ln 2

[el toro cuatro]

het is natuurlijk altijd mogelijk. want de mens kan nooit alles begrijpen. 
los hiervan als je een appel hebt kan je daar niet opeens 0,5 appel van maken terwijl je alleen maar +&- doet met natuurlijke getallen.
en met gemiddelde uitrekenen dan zou ik net zo goed de -1en bij elkaar optellen en de 1en en op nul uitkomen gemiddeld dus dat werkt niet.